Груз, блок и обезьянка на верёвке

Сумма длин вертикальных отрезков верёвки уменьшается со скоростью \(u\): это связывает скорости груза и обезьянки. Запишите второй закон Ньютона для каждого тела и сравните ускорения.

Вопрос. При разгоне груза скорость вращения блока тоже должна увеличиваться. Для этого сумма моментов сил, приложенных к массивному блоку, должна отличаться от нуля — сила, с которой действуют на верёвку, должна быть больше веса груза. Таким образом, при замене груза на массивный сила, необходимая для разгона груза, должна увеличиться: \(F_1'>F_1\). При равномерном движении груза вращение блока тоже должно быть равномерным (если верёвка не скользит по блоку), и в этом случае момент сил натяжения верёвки должен равняться нулю. Поэтому сила натяжения верёвки со стороны поднимающего устройства должна равняться весу груза, независимо от массы блока, то есть \(F_2'=F_2\).

Задача. Направим координатную ось \(x\) вертикально вниз. Сумма длин вертикальных отрезков нити от блока до груза и обезьяны должна уменьшаться со скоростью \(u\). Следовательно, координаты груза \(x_1\) и координата обезьяны \(x_2\) должны удовлетворять соотношению \(x_1+x_2=\text{const}-ut\). Значит, изменения этих координат за малое время \(\Delta t\) связаны соотношением \(\Delta x_1+\Delta x_2=-u\,\Delta t\), что означает, что в любой момент времени проекции скоростей на ось \(x\) связаны: \(v_1+v_2=-u\). Движение, согласно условию, начинается так, что при \(t=0\) скорость груза \(v_1(0)=0\). Значит, \(v_2(0)=-u\). Рассуждая аналогично, замечаем, что проекции ускорений грузов также связаны: \(a_1+a_2=0\). Кроме того, эти ускорения удовлетворяют уравнениям движения, следующим из II закона Ньютона: \(m\,a_1=mg-T\) и \(1{,}1\,m\,a_2=1{,}1\,mg-T\) (где \(T\) — сила натяжения нити). С учётом связи ускорений первое уравнение даёт \(-m\,a_2=mg-T\). Вычитая это соотношение из второго уравнения, найдём, что \(2{,}1\,m\,a_2=0{,}1\,mg\ \Rightarrow\ a_2=\dfrac{g}{21}\). Соответственно \(a_1=-\dfrac{g}{21}\), и законы изменения скоростей груза и обезьяны записываются в виде \(v_1(t)=-\dfrac{g}{21}\,t\) и \(v_2(t)=-u+\dfrac{g}{21}\,t\). Момент времени, когда скорости равны, определяется из уравнения \(-\dfrac{g}{21}\,t=-u+\dfrac{g}{21}\,t\), откуда \[t=\frac{21u}{2g}=2{,}1~\text{с}.\]