Стержень с двумя шарами и плавание на глубине
6/10Вопрос. В чём состоит условие плавания тела на поверхности глубокого водоёма?
Задача. На тонкий прочный стержень насажены два небольших шара одинакового радиуса: очень лёгкий — на конце стержня, тяжёлый — на расстоянии четверти длины стержня от другого конца. Массы стержня и лёгкого шара намного меньше массы тяжёлого. Нам нужно убедиться, что эта конструкция будет плавать на поверхности в глубоком водоёме. Если поместить её в неглубокий бассейн, то она располагается в нём так, что свободный конец упирается в дно, а лёгкий шар плавает на поверхности. Мы измерили отношение объёма его выступающей части к объёму всего этого шара \(k\). При каких \(k\) конструкция действительно будет плавать на глубине?
▶Показать разборСкрыть разбор
ПодсказкаТело на поверхности глубокого водоёма не касается дна, поэтому его вес уравновешивается силой Архимеда при полном погружении. Запишите условие равновесия моментов относительно точки опоры в бассейне.
ОтветВопрос: вес тела должен уравновешиваться силой Архимеда при полном погружении, то есть средняя плотность тела не превышает плотности жидкости; Задача: при \(k>\dfrac34\).
РешениеВопрос. При плавании тела на поверхности глубокого водоёма тело не касается дна, и поэтому вес тела должен уравновешиваться только силой Архимеда. Максимальная величина этой силы достигается при полном погружении тела и равна весу вытесняемой телом жидкости. Для этого необходимо, чтобы масса тела не превышала массу жидкости в объёме тела. Это требование можно также сформулировать в виде «средняя плотность тела не должна превышать плотности жидкости».
Задача. Так как шары одинаковы по объёму, то величина силы Архимеда, действующей на лёгкий шар в бассейне (\(F_1\)), связана с величиной силы Архимеда, действующей на тяжёлый шар (\(F_2\)), соотношением \(F_1=(1-k)F_2\). Пренебрегая весом лёгкого шара, запишем условие равновесия моментов сил относительно точки опоры (ясно, что плечо силы Архимеда и силы тяжести, действующих на тяжёлый шар, в четыре раза меньше, чем плечо силы Архимеда, действующей на лёгкий шар): \[F_1l_1+F_2\,\frac{l_1}{4}=Mg\,\frac{l_1}{4}.\] С учётом предыдущего соотношения находим, что \(F_2=\dfrac{Mg}{5-4k}\). Для плавания в глубоком водоёме нужно, чтобы максимальная сила Архимеда (когда оба шара погружены целиком) превышала вес всех тел, примерно равный весу тяжёлого шара. Таким образом, должно выполняться требование \[2F_2>Mg\ \Rightarrow\ \frac{2Mg}{5-4k}>Mg\ \Rightarrow\ k>\frac34.\]
Похожие задачи
- Плотность нефти ВсОШ 2009/10, 9 кл.
- Горящая свеча с шариком МОШ 2010/11, 8 кл.
- Крышка на смеси воды и льда МОШ 2010/11, 9 кл.
- Льдина с грузом и школьником МОШ 2011/12, 9 кл.
- Льдинка с полостью ВсОШ 2011/12, 10 кл.
- Пустая бутылка ВсОШ 2011/12, 11 кл.