Оборудование: алюминиевый жёлоб (уголок), стул, металлический шарик, копировальная бумага, 2 листа миллиметровой бумаги, портняжный метр, картонная коробка, скотч (по требованию), верёвка. Задание. Соберите установку, аналогичную приведённой на фотографиях. Отметьте на жёлобе точку «старта». Установите уголок так, чтобы точка «старта» оказалась над нижним краем жёлоба на высоте \(H \approx 20\) см (рис. 1). Нижний край жёлоба должен располагаться на расстоянии \(h \approx 15\text{--}20\text{ см}\) от поверхности стола. Установите шарик в точку «старта». Предоставьте ему возможность скатиться по жёлобу и определите расстояние \(l\) по горизонтали, которое шарик пролетел. Шарик должен ударяться о копировальную бумагу, под которой лежит лист миллиметровой бумаги. Проведите аналогичные измерения для 6–7 различных значений высоты \(H\) при одной и той же точке «старта». Для каждой высоты \(H\) проведите несколько измерений и усредните результаты. Полученные данные занесите в таблицу. Обозна

3) \(E_x = \dfrac{m v_x^2}{2}\); 4) \(\Delta\Pi = mgH\); 5) \(k = \dfrac{\Delta\Pi}{E_x}\); 6) \(k = \dfrac{4H\,(h - l\operatorname{tg}\alpha)}{l^2}\); 7) горизонтальная прямая: \(a \approx 0\), \(b \approx 1{,}8\).

Качение шарика — ВсОШ 2015/16, 11 кл., задача 2

Качение шарика
ВсОШ 2015/16, 11 кл.
7/10
Оборудование: алюминиевый жёлоб (уголок), стул, металлический шарик, копировальная бумага, 2 листа миллиметровой бумаги, портняжный метр, картонная коробка, скотч (по требованию), верёвка.

Задание.
1. Соберите установку, аналогичную приведённой на фотографиях. Отметьте на жёлобе точку «старта». Установите уголок так, чтобы точка «старта» оказалась над нижним краем жёлоба на высоте \(H \approx 20\) см (рис. 1). Нижний край жёлоба должен располагаться на расстоянии \(h \approx 15\text{--}20\text{ см}\) от поверхности стола. Установите шарик в точку «старта». Предоставьте ему возможность скатиться по жёлобу и определите расстояние \(l\) по горизонтали, которое шарик пролетел. Шарик должен ударяться о копировальную бумагу, под которой лежит лист миллиметровой бумаги.
2. Проведите аналогичные измерения для 6–7 различных значений высоты \(H\) при одной и той же точке «старта». Для каждой высоты \(H\) проведите несколько измерений и усредните результаты. Полученные данные занесите в таблицу.
3. Обозначьте через \(E_x = \dfrac{m v_x^2}{2}\) ту часть кинетической энергии шарика, которая обусловлена его поступательным движением вдоль горизонтальной оси \(X\) в момент отрыва шарика от жёлоба.
4. Обозначьте символом \(\Delta\Pi\) изменение потенциальной энергии шарика при его скатывании по жёлобу с высоты \(H\).
5. Введите коэффициент \(k = \Delta\Pi / E_x\). Пусть \(\alpha\) — угол наклона жёлоба относительно горизонта.
6. Выразите коэффициент \(k\) через параметры установки: \(l\), \(h\), \(H\), \(\operatorname{tg}\alpha\).
7. Постройте график зависимости \(y(x)\), где \(y = k\cos^2\alpha\), а \(x = H\). В предположении, что \(y = ax + b\), определите коэффициенты \(a\) и \(b\). Оцените погрешность полученных значений.
▶Показать разборСкрыть разбор
Подсказка
Запишите вертикальное движение шарика от края жёлоба до стола с начальной скоростью \(v_y\) и выразите время полёта через \(l\) и \(v_x\). Учтите, что \(v_x = \upsilon\cos\alpha\), \(v_y = \upsilon\sin\alpha\).
Ответ
3) \(E_x = \dfrac{m v_x^2}{2}\); 4) \(\Delta\Pi = mgH\); 5) \(k = \dfrac{\Delta\Pi}{E_x}\); 6) \(k = \dfrac{4H\,(h - l\operatorname{tg}\alpha)}{l^2}\); 7) горизонтальная прямая: \(a \approx 0\), \(b \approx 1{,}8\).
Решение
Теоретическая часть. Пусть сразу после отрыва от жёлоба шарик имел скорость \(\upsilon\) и упал на стол на расстоянии \(l\) от края жёлоба. Проекция его скорости на горизонтальное направление равна \(v_x = \upsilon\cos\alpha\), а на вертикальное — \(v_y = \upsilon\sin\alpha\). Здесь \(\alpha\) — угол, который образует жёлоб с горизонтальной плоскостью. Время свободного падения шарика \(t = l/v_x\). В проекции на вертикальную ось движение шарика удовлетворяет уравнению \[h = v_y t + \frac{gt^2}{2} = l\,\frac{v_y}{v_x} + \frac{g}{2}\,\frac{l^2}{v_x^2} = l\operatorname{tg}\alpha + \frac{g}{2}\,\frac{l^2}{v_x^2}.\] Отсюда выражение для кинетической энергии шарика, обусловленной его поступательным движением вдоль оси \(X\): \[E_x = \frac{m v_x^2}{2} = \frac{mgl^2}{4\,(h - l\operatorname{tg}\alpha)}.\] Изменение потенциальной энергии шарика при его скатывании по жёлобу с высоты \(H\): \(\Delta\Pi = mgH\). Отсюда искомый коэффициент \[k = \frac{\Delta\Pi}{E_x} = \frac{4H\,(h - l\operatorname{tg}\alpha)}{l^2}.\]

Экспериментальная часть. Для различных высот \(H_i\) снимаем серию измерений и заполняем таблицу. График зависимости \(y(x)\) должен представлять собой горизонтальную прямую \(y \approx 1{,}8\); погрешность не должна превосходить 10%.

Комментарий для жюри. Момент инерции шарика относительно оси, проходящей через его центр масс, равен \(J = \dfrac{2}{5}mR^2\). Расстояние от горизонтальной оси, проходящей через центр масс шарика, до точки касания жёлоба шариком равно \(R/\sqrt{2}\). Скорость центра масс катящегося шарика равна \(\upsilon_C = \omega R/\sqrt{2}\). По теореме Гюйгенса–Штейнера момент инерции шарика относительно линии касания жёлоба \(J_{AA} = \dfrac{2}{5}mR^2 + m\left(\dfrac{R}{\sqrt{2}}\right)^2 = \dfrac{9}{10}mR^2\). Из закона сохранения энергии \(mgH = \dfrac{J_{AA}\omega^2}{2} = \dfrac{9}{5}\cdot\dfrac{m\upsilon_C^2}{2}\). Отсюда часть кинетической энергии шарика, обусловленная поступательным движением, \(K_{\text{пост}} = \dfrac{5}{9}mgH\), и отношение \[k\cos^2\alpha = \frac{\Delta\Pi}{K_x} = \frac{9}{5} = 1{,}8.\] Фактически из-за трения кинетическая энергия оказывается несколько меньше теоретического значения, а коэффициент \(k\cos^2\alpha > 1{,}8\).
Вся олимпиада на сайте
в вариантСтраница задачи Ошибка в задаче?

Качение шарика

Качение шарика

Похожие задачи