Поршень с вынимающейся серединой

Выясните, какое давление воды действует под центральной частью и под остальной частью поршня, и как при опускании центральной части изменяется объём воды, вытесняемый ею.

Пусть масса поршня равна \(M\). Тогда под поршнем создаётся давление воды \[p = \frac{Mg}{S}.\] При опускании центральной части давление под остальной частью поршня остаётся таким же — пропорционально изменяются масса остальной части и её площадь.

Пусть максимальная масса тела, при которой центральная часть ещё не выпадает из поршня, равна \(m\). Тогда для самого нижнего положения центральной части (см. рисунок) давление воды под центральной частью поршня (с телом) больше давления под остальной частью поршня на \(\rho g h\): \[p_1 = p + \rho g h,\] где \(h\) — толщина поршня. Это давление уравновешивает массу центральной части поршня и дополнительную массу тела, причём массу тела уравновешивает именно избыточное давление воды под центральной частью по сравнению с её давлением под остальной частью поршня: \[\frac{M}{3}\,g + mg = p\,\frac{S}{3} + \rho g h\,\frac{S}{3} \quad\Rightarrow\quad m = \frac{1}{3}\rho h S.\]

Найдём перемещение центральной части поршня относительно сосуда. Пусть это перемещение равно \(\Delta x\). Тогда центральная часть при своём перемещении вытесняет объём воды \(\Delta x\,S/3\). Этот объём должен разместиться под остальной частью поршня, поднимая её: \[\Delta x\,\frac{S}{3} = \Delta x_1\,\frac{2S}{3},\] где \(\Delta x_1\) — перемещение остальной части поршня относительно сосуда. Отсюда \(\Delta x_1 = \dfrac{\Delta x}{2}\). Поскольку перемещение центральной части относительно остального поршня равно толщине поршня \(h\), получаем \[h = \Delta x + \Delta x_1 = \frac{3}{2}\Delta x \quad\Rightarrow\quad \Delta x = \frac{2}{3}h,\qquad \Delta x_1 = \frac{1}{3}h.\]