Три трубы в большой трубе

Равновесие нарушается, когда сила реакции между двумя нижними трубами обращается в нуль. Запишите условие равновесия верхней трубы, а затем нижней.

Если бы три внутренние трубы находились на гладкой горизонтальной поверхности (в положении, показанном на рисунке в условии: две внизу, одна сверху между ними), они не смогли бы находиться в равновесии, поскольку на нижние трубы со стороны верхней действовала бы сила с горизонтальной составляющей, которую нечем компенсировать. Если же три внутренние трубы расположены в узкой внешней трубе, им некуда раскатиться, и они находятся в равновесии. Некоторое соотношение радиусов отвечает границе между этими случаями.

Это соотношение находим из условия равновесия труб. Указанием на нарушение равновесия служит обращение в нуль силы реакции между малыми трубами. На верхнюю трубу действуют сила тяжести и две силы реакции со стороны двух нижних труб. Эти силы одинаковы (из симметрии) и направлены под углом \(30^\circ\) к вертикали (центры малых труб образуют равносторонний треугольник). Условие равновесия верхней трубы даёт \[N = \frac{mg}{2\cos 30^\circ} = \frac{mg}{\sqrt{3}}.\] На каждую из двух нижних труб действуют: сила тяжести \(mg\), сила реакции со стороны верхней трубы \(N\), сила реакции внешней трубы \(N_1\) (перпендикулярно поверхности внешней трубы, к её центру) и сила реакции между двумя нижними трубами \(F\) (горизонтально). Условие равновесия нижней трубы в проекциях на вертикальную и горизонтальную оси: \[F + N\sin 30^\circ = N_1\sin\alpha, \qquad mg + N\cos 30^\circ = N_1\cos\alpha,\] где \(\alpha\) — угол между силой \(N_1\) и вертикалью. Геометрически очевидно, что \[\sin\alpha = \frac{r}{R-r}, \qquad \cos\alpha = \frac{\sqrt{R^2-2Rr}}{R-r}.\] Из этих уравнений находим силу реакции между нижними трубами: \[F = \frac{mg}{2\sqrt{3}\cos\alpha}\left(3\sqrt{3}\,r - \sqrt{R^2-2Rr}\right).\] Сила реакции между нижними трубами обращается в нуль (и нижние трубы раскатываются), если \[3\sqrt{3}\,r - \sqrt{R^2-2Rr} = 0 \quad\Leftrightarrow\quad \left(\frac{R}{r}\right)^2 - 2\,\frac{R}{r} - 27 = 0.\] Решая это квадратное уравнение, получаем границу для соотношения радиусов труб: \[\frac{R}{r} = 1+2\sqrt{7} \approx 6{,}29.\]