Сломанные часы

Найдите угловые скорости обеих стрелок и подумайте, сколько раз за сутки минутная стрелка делает поворот относительно часовой на полный оборот; за каждый такой оборот стрелки дважды перпендикулярны.

После порчи часов угловая скорость часовой стрелки стала равна \(\omega_ч = -\dfrac{2\pi}{4}\) рад/ч. За сутки часовая стрелка сделает 6 целых оборотов, а минутная (идущая с «правильной» угловой скоростью) — 24 целых оборота. Поэтому в начале и в конце суток положения стрелок совпадают.

За каждый оборот минутной стрелки относительно часовой стрелки они дважды оказываются перпендикулярны друг другу. Количество оборотов минутной стрелки относительно часовой равно количеству встреч этих стрелок за сутки (кроме встречи, с которой сутки начались). Так как часовая стрелка движется навстречу минутной и совершает за сутки 6 оборотов, а минутная — 24, за сутки произойдёт \(6+24 = 30\) встреч. Значит, за сутки минутная стрелка будет перпендикулярна часовой \(2\cdot 30 = 60\) раз.