Закрытая вселенная Фридмана

Длина маршрута на сфере пропорциональна её радиусу. Доля пути, пройденная за промежуток с постоянным радиусом, равна скорости, умноженной на время, делённой на длину маршрута; сложите эти доли по всем промежуткам.

Пусть \(T_1\) — обычное время движения муравья, \(T_2\) — время в описанном эксперименте, \(R_0\) — обычный радиус сферы. Длина маршрута на сфере пропорциональна радиусу: \(L = \alpha R\). Тогда \(T_1 = \dfrac{\alpha R_0}{v}\).

За промежуток \(\Delta t\) при постоянных \(v\) и \(R\) муравей проходит долю пути \(\Delta n = \dfrac{v\,\Delta t}{\alpha R}\). Весь путь соответствует сумме этих долей, равной единице. Промежутков \(100\), каждый длится \(T_2/100\), а радиус на \(n\)-м промежутке равен \(R(n) = \dfrac{200}{200-n}R_0\): \[1 = \sum_{n=1}^{100}\frac{v\,T_2}{100\,\alpha R(n)} = \frac{T_2}{T_1}\sum_{n=1}^{100}\frac{1}{100}\left(1 - \frac{n}{200}\right).\] Так как \(\sum_{n=1}^{100} 1 = 100\) и \(\sum_{n=1}^{100} n = 5050\), \[\sum_{n=1}^{100}\frac{1}{100}\left(1 - \frac{n}{200}\right) = 1 - \frac{5050}{20000} \approx 0{,}7475 ,\] откуда \(\dfrac{T_2}{T_1}\approx 1{,}34 \approx \dfrac{4}{3}\) и \(T_2 \approx \dfrac{4}{3}\cdot 1\) мин \(= 1\) мин \(20\) с.