Через край

Пока вода не выливается, глубина растёт по закону Архимеда. Когда вода начинает выливаться, учтите, что суммарный объём шариков и оставшейся воды постоянен.

Пусть \(M_{\text{к}}\) — масса контейнера, \(S\) — площадь внешнего сечения контейнера, \(M_{\text{в}}\) — масса налитой в него воды, \(\rho\) — плотность воды, \(\rho_{\text{м}}\) — плотность металла, из которого сделаны шарики, \(m\) — масса насыпанных шариков. Контейнер находится в равновесии, если сила тяжести скомпенсирована силой Архимеда: \[\rho S h g = (M_{\text{к}} + M_{\text{в}} + m)\, g .\] Если масса воды внутри контейнера не меняется, то \(\Delta h = \dfrac{\Delta m}{\rho S}\). По графику видно, что это не всегда выполняется: в какой-то момент вода начинает выливаться из контейнера, и \[\Delta h = \frac{\Delta m - \Delta M_{\text{в}}}{\rho S}.\] С этого момента суммарный объём шариков и воды внутри контейнера постоянен: \(\dfrac{\Delta m}{\rho_{\text{м}}} = \dfrac{\Delta M_{\text{в}}}{\rho}\). Поэтому на этом участке \[\Delta h = \frac{1}{\rho S}\left(1 - \frac{\rho}{\rho_{\text{м}}}\right)\Delta m .\] Отношение \(\dfrac{\Delta h}{\Delta m}\) определяется по угловому коэффициенту графика. Пусть на первом участке оно равно \(k_1\), на втором — \(k_2\). Тогда \[\frac{k_2}{k_1} = 1 - \frac{\rho}{\rho_{\text{м}}}.\] По графику \(k_1 = 15\) см/кг, \(k_2 = 8{,}75\) см/кг, так что \(\dfrac{k_2}{k_1} = \dfrac{7}{12}\). Отсюда \(\rho_{\text{м}} = \dfrac{12}{5}\rho = 2{,}4\) г/см\(^3\).