Неудобный безмен

Параллельно соединённые пружины складываются по жёсткости, последовательно — по обратным величинам. Учтите, что безмен можно перевернуть, и тогда получается другая конструкция.

Для двух пружин с жёсткостями \(k_1\) и \(k_2\), соединённых параллельно, жёсткость равна \(k = k_1 + k_2\). При последовательном соединении \(\dfrac{1}{k} = \dfrac{1}{k_1} + \dfrac{1}{k_2}\).

Жёсткость одного безмена из пружин \(k_1\) и \(k_2\) (последовательно) равна \(k = \dfrac{k_1k_2}{k_1+k_2}\). Правая конструкция — два безмена параллельно, её жёсткость \(2k\). Так как к ней подвешен вдвое больший груз и растяжение одинаково, жёсткость левой конструкции должна быть равна \(k\).

Левая конструкция может быть собрана двумя способами, так как один из безменов можно перевернуть. Пусть \(\mu = \dfrac{k_1}{k_2}\).

Если оба безмена повёрнуты одинаково, жёсткость левой конструкции \[k' = \frac{k_1k_2(k_1+k_2)}{k_1k_2 + k_1(k_1+k_2) + k_2(k_1+k_2)} .\] Условие \(k = k'\) приводит к \[\frac{\mu}{\mu+1} = \frac{\mu^2+\mu}{\mu^2+3\mu+1},\] которое не имеет решений, кроме \(\mu = 0\), а это невозможно.

Если безмены повёрнуты по-разному, условие \(k = k'\) сводится к \[\frac{\mu}{\mu+1} = \frac{2\mu^2}{\mu^2+4\mu} \quad\Rightarrow\quad \mu + 4 = 2\mu + 2 \quad\Rightarrow\quad \mu = 2 .\] Значит, жёсткости пружинок отличаются в \(2\) раза.