Градины в бутылке

Составьте уравнение теплового баланса: тепло, отданное горячей водой, идёт на нагрев льда до \(0\,^\circ\)C, его плавление и нагрев полученной воды.

Объём льда массой \(m_л\) равен \(V_л = \dfrac{m_л}{\rho_л}\). Тогда объём долитой воды \[V_в = V - V_л = V - \frac{m_л}{\rho_л},\] а её масса \[m_в = \rho_в V_в = \rho_в\left(V - \frac{m_л}{\rho_л}\right).\] Горячая вода остыла от температуры \(t_0\) до \(t\), отдав при этом количество теплоты \[Q_{\text{отд}} = c_в m_в (t_0 - t).\] Лёд, имея начальную температуру \(t_1 < 0\,^\circ\)C, сначала нагрелся до \(0\,^\circ\)C, затем расплавился, и полученная вода нагрелась до температуры \(t\): \[Q_{\text{пол}} = c_л m_л (0\,^\circ\text{C} - t_1) + \lambda m_л + c_в m_л (t - 0\,^\circ\text{C}).\] По условию теплопотерь нет, значит \(Q_{\text{отд}} = Q_{\text{пол}}\). Уравнение теплового баланса: \[c_в m_в (t_0 - t) = -c_л m_л t_1 + \lambda m_л + c_в m_л t.\] Отсюда \[t_1 = \frac{\lambda m_л + c_в m_л t - c_в m_в (t_0 - t)}{c_л m_л} \approx -4\,^\circ\text{C}.\] Ответ: \(t_1 \approx -4\,^\circ\text{C}\).