Скутер и друзья

Введите время каждого участка движения: поездка Пети с Катей, возвращение Пети к Ване, поездка с Ваней до школы и пешая часть Кати. Выразите путь каждого через эти времена.

Обозначим: \(u\) — скорость ходьбы; \(t_1\) — Катя и Петя едут на скутере; \(t_2\) — Петя возвращается к Ване на скутере; \(t_3\) — Ваня и Петя едут на скутере до школы; \(t_{\text{к}}\) — Катя идёт пешком до школы. Петя проезжает расстояние \(Vt_1\) «вперёд» и \(Vt_2\) «назад».

Координата Пети на скутере до встречи с Ваней: \(V(t_1 - t_2)\). Координата Вани до встречи с Петей: \(u(t_1 + t_2)\). Поэтому \[V(t_1 - t_2) = u(t_1 + t_2). \qquad (1)\] Расстояние от дома до школы: \(S = Vt_1 + ut_{\text{к}}\). Время движения Пети до школы \(T = t_1 + t_2 + t_3\), время движения Кати \(T = t_1 + t_{\text{к}}\), поэтому \(t_{\text{к}} = t_2 + t_3\). Тогда \[S = Vt_1 + u(t_2 + t_3) = v_{\text{ср}}(t_1 + t_2 + t_3). \qquad (2)\] Путь Вани до школы: \(S = u(t_1 + t_2) + Vt_3\). Сравнивая с путём Кати, получаем \(Vt_1 + u(t_2 + t_3) = u(t_1 + t_2) + Vt_3\), откуда \(t_1 = t_3\).

Подставляя \(t_3 = t_1\) в (1) и (2), получаем систему \[\begin{cases} Vt_1 + u(t_1 + t_2) = v_{\text{ср}}(2t_1 + t_2),\\ Vt_1 - Vt_2 = u(t_1 + t_2), \end{cases}\] из второго уравнения \(t_2 = \dfrac{V - u}{V + u}\,t_1\). Подставляя в первое, находим \[v_{\text{ср}} = \frac{V(V + 3u)}{3V + u}, \qquad u = \frac{V(3v_{\text{ср}} - V)}{3V - v_{\text{ср}}} = \frac{15\,(27 - 15)}{45 - 9} = 5~\text{км/ч}.\]