Эффект Магнуса

В спортивных играх с мячом широко применяются кручёные удары, при которых мячу сообщается не только поступательная скорость, но и вращение. В результате мяч движется по сложной траектории и при определённых условиях отклоняется в сторону от вертикальной плоскости, содержащей вектор начальной скорости.

Такая траектория мяча объясняется эффектом Магнуса. Взаимодействие вращающегося мяча с воздухом количественно характеризуется двумя силами: силой сопротивления \(F_\text{D}\) (направленной противоположно скорости центра мяча) и силой Магнуса \(F_\text{M}\), направленной перпендикулярно скорости (см. рис. 3) и также перпендикулярно оси вращения. В этой задаче считается, что ось вращения перпендикулярна направлению скорости центра мяча.

В первом приближении можно считать, что эти силы задаются формулами: \[F_\text{D} = C_\text{D} v^2, \qquad F_\text{M} = C_\text{M}\,\omega v,\] где \(C_\text{D}\) и \(C_\text{M}\) "— постоянные коэффициенты, \(v\) "— скорость центра мяча, \(\omega\) "— угловая скорость его вращения (предполагается, что в процессе полёта она не изменяется).

Анализ движения вращающегося тела в поле тяжести при наличии аэродинамических сил достаточно сложен. Поэтому далее мы пренебрежём силой тяжести и ограничимся рассмотрением плоского движения мяча под действием только двух сил: лобового сопротивления \(F_\text{D}\) и силы Магнуса \(F_\text{M}\).

1. Пусть \(C_\text{D} = 0\), то есть сила сопротивления отсутствует. Известны величины \(C_\text{M}\), \(\omega\) и \(m\). Мяч вылетает из точки \(A\) со скоростью \(v_0\) под углом \(\alpha = 30^\circ\) к горизонтальной прямой. Найдите расстояние \(AB\), где \(B\) "— точка повторного пересечения траектории с этой прямой.

2. В этом пункте \(C_\text{D} \neq 0\). Мяч массой \(m = 3\) г вылетает со скоростью \(v_0 = 15\) м/с под углом \(\alpha = 30^\circ\) к вертикали. Угловая скорость вращения \(\omega = 100\) рад/с. Траектория движения мяча за промежуток времени \(t_0 = 0{,}5\) с показана на рис. 4. Этот график получен методом численного моделирования; копия графика представлена на листе 4, см. рис. 7.

   

   Зависимость модуля скорости мяча от времени \(v(t)\) за тот же промежуток приведена на рис. 5. Используя графики, определите коэффициенты \(C_\text{D}\) и \(C_\text{M}\) с максимально возможной точностью.

   

Копия графика траектории (рис. 7) для работы: