Цилиндр в кольце

Из условия понятно, что сила трения скольжения цилиндра по кольцу равна \(F\). Предположим, что цилиндр при повороте на угол \(\Delta\alpha\) смещается вниз на расстояние \(\Delta y\). Тогда сила трения, действующая против направления движения, может быть разложена на две ортогональные составляющие: вертикальную, направленную вверх, и горизонтальную, направленную противоположно направлению вращения. Они соответственно равны \[F_{\text{верт}} = F\dfrac{\Delta y}{\sqrt{(R\Delta\alpha)^2 + (\Delta y)^2}} = F\dfrac{v_{\text{верт}}}{\sqrt{(R\omega)^2 + (v_{\text{верт}})^2}}\] и \[F_{\text{гор}} = F\dfrac{R\Delta\alpha}{\sqrt{(R\Delta\alpha)^2 + (\Delta y)^2}} = F\dfrac{R\omega}{\sqrt{(R\omega)^2 + (v_{\text{верт}})^2}},\] где \(v_{\text{верт}}\) — вертикальная составляющая скорости цилиндра. Вертикальная составляющая силы трения должна быть меньше силы тяжести или равна ей: \[F_{\text{верт}} = F\dfrac{v_{\text{верт}}}{\sqrt{(R\omega)^2 + (v_{\text{верт}})^2}} \leqslant mg.\] Отсюда \[v_{\text{верт}} \leqslant \dfrac{mgR\omega}{\sqrt{F^2 - (mg)^2}} \approx \dfrac{mgR\omega}{F},\] поскольку по условию \(F \gg mg\). По истечении некоторого времени скорость установится и станет равной \(v_{\text{верт}} \approx mgR\omega/F\).

Найдём теперь момент силы, необходимый для вращения. Поскольку цилиндр вращается с постоянной угловой скоростью \(\omega\), то момент горизонтальной составляющей силы трения должен быть равен искомому моменту: \[M = F_{\text{гор}}R = F\dfrac{R\omega}{\sqrt{(R\omega)^2 + (v_{\text{верт}})^2}}\cdot R \approx\] \[\approx \dfrac{FR\cdot R\omega}{\sqrt{(R\omega)^2 + \dfrac{(mgR\omega)^2}{F^2}}} \approx \dfrac{FR}{\sqrt{1 + (mg/F)^2}} \approx FR.\]