Необычные пленки!?

Сила упругости пленки не зависит от деформации: работа растяжения идёт на рост поверхностной энергии. Для шара запишите работу газа при малом расширении и приравняйте её изменению энергии пленки.

Часть 1. Пленка №1.

1.1. Так как всякая система стремится к минимуму потенциальной энергии, то площадь пленки в свободном состоянии равна нулю.

1.2. При медленном растяжении пленки с помощью силы \(F\) в пленке будет возникать сила упругости, равная по модулю внешней приложенной силе. При растяжении пленки на малую величину \(\Delta l\) будет совершена работа \[\delta A = F\,\Delta l, \qquad (1)\] которая пойдет на увеличение потенциальной энергии пленки \[\Delta U = ah\,\Delta l. \qquad (2)\] Приравнивая эти выражения, находим, что сила упругости постоянна, не зависит от деформации и равна \[F_{упр} = ah. \qquad (3)\]

1.3. Для расчета давления воспользуемся тем же принципом. Пусть некий газ, изнутри увеличил объем шара на малую величину \(\Delta V\). Работа, совершенная газом \(P\Delta V\), пошла на увеличение энергии пленки \(a\Delta S\). Поэтому \[P\Delta V = a\Delta S. \qquad (4)\] Так как \[V = \frac{4}{3}\pi r^3 \ \Rightarrow\ \Delta V = 4\pi r^2\Delta r, \qquad S = 4\pi r^2 \ \Rightarrow\ \Delta S = 8\pi r\Delta r, \qquad (5)\] то из формулы (4) получаем \[P = \frac{2a}{r}. \qquad (6)\] Не сложно записать и обратную зависимость, но лучше сделать это в симметричной форме в виде уравнения \[rP = 2a. \qquad (7)\]

1.4. Для одного моля газа справедливо уравнение Менделеева–Клапейрона \[PV = RT, \qquad (8)\] которое в паре с уравнением (7) позволяет связать две любые характеристики газа. В данном случае надо избавиться от давления, что сделаем с помощью формулы (7): \[\frac{2a}{r}\cdot\frac{4}{3}\pi r^3 = RT \ \Rightarrow\ \frac{8}{3}a\pi r^2 = RT. \qquad (9)\] Находим требуемую зависимость \[r = \sqrt{\frac{3RT}{8\pi a}}. \qquad (10)\]

1.5. Для расчета теплоемкости воспользуемся первым законом термодинамики \[C\,\Delta T = P\Delta V + \frac{3}{2}R\,\Delta T. \qquad (11)\] В общем случае в задачах такого рода необходимо выразить работу газа через изменение температуры. Но в данном случае проще воспользоваться формулой (4) \[P\Delta V = a\Delta S = a\Delta\!\left(4\pi r^2\right) = 4\pi a\,\Delta\!\left(\frac{3RT}{8\pi a}\right) = \frac{3}{2}R\,\Delta T. \qquad (12)\] Окончательно из уравнения (11) получаем \[C = \frac{\delta Q}{\Delta T} = 3R. \qquad (13)\]

1.6. В этой задаче рассмотрена обычная мыльная пленка.

Часть 2. Пленка №2.

Последовательность решения этой задачи традиционна, но требует известной аккуратности при выполнении алгебраических преобразований. По определению теплоемкость системы равна \[C = \frac{\delta Q}{\Delta T}. \qquad (14)\] Для расчета количества полученной теплоты используем первый закон термодинамики для газа: \[\delta Q = \Delta U_0 + \delta A. \qquad (15)\] Здесь \[\Delta U_0 = \frac{3}{2}R\,\Delta T \qquad (16)\] — изменение внутренней энергии одноатомного идеального газа. \(\delta A\) — работа, совершенная газом при изменении его температуры на малую величину \(\Delta T\). Эта работа равна изменению энергии пленки, т.е. \(\delta A = P\Delta V = \Delta U\). Таким образом, необходимо рассчитать изменение энергии пленки при изменении ее температуры на \(\Delta T\). В условии сказано, что внутренняя энергия пленки явно не зависит от температуры. Но эта зависимость появляется из-за того, что изменяется радиус шара, следовательно, и площадь его поверхности.

Очевидный путь дальнейшего решения — выразить все величины (и их изменения) через радиус шара (и его изменение). Будем использовать геометрические формулы (5). Для внутренней энергии пленки имеем \[U = bS^{n} = (4\pi)^{n} b r^{2n}, \qquad \Delta U = 2n(4\pi)^{n} b r^{2n-1}\,\Delta r. \qquad (17)\] Для того, чтобы получить уравнение процесса расширения газа в пленке, найдем связь между радиусом пленки и температурой газа. Работа газа, с одной стороны, равна изменению энергии пленки, поэтому \[P\Delta V = \Delta U \ \Rightarrow\ P = \frac{\Delta U}{\Delta V} = \frac{2n(4\pi)^{n} b r^{2n-1}\Delta r}{(4\pi) r^{2}\Delta r} = 2nb(4\pi)^{n-1} r^{2n-3}. \qquad (18)\] Далее используем уравнение состояния идеального газа, из которого находим температуру газа при заданном значении радиуса шара, а также изменение температуры при изменении радиуса шара: \[T = \frac{1}{R}\,2nb(4\pi)^{n-1}r^{2n-3}\cdot\frac{4\pi}{3}r^{3} = \frac{2}{3R}\,nb(4\pi)^{n}r^{2n}, \qquad \Delta T = \frac{4}{3R}\,n^{2}b(4\pi)^{n}r^{2n-1}\Delta r. \qquad (19)\] Наконец, аккуратно все найденные величины в формулу для теплоемкости: \[C = C_V + \frac{\Delta U}{\Delta T} = \frac{3}{2}R + \frac{3}{2n}R = \frac{3}{2}\,\frac{n+1}{n}\,R. \qquad (20)\]