Колебания кольца

Запишите закон сохранения энергии для малых колебаний: кинетическая энергия вращения кольца и потенциальная энергия поднятого груза. Выразите период через \(m\) и попробуйте найти такую комбинацию переменных, в которой зависимость будет линейной.

При повороте кольца на угол \(\varphi\) потенциальная энергия груза возрастает на \(\Delta E_п = mgR(1 - \cos\varphi) \approx mgR\varphi^2/2\). Кинетической энергией груза при малых колебаниях пренебрегаем: его скорость порядка \(R\dot\varphi\), и его кинетическая энергия много меньше кинетической энергии кольца \(E_к = MR^2\dot\varphi^2\). Закон сохранения энергии дает \[MR^2\dot\varphi^2 + \frac{mgR\varphi^2}{2} = \text{const},\] откуда \[T = 2\pi\sqrt{\frac{2MR}{mg}}.\] Из этого выражения \(T = A\,m^{-0{,}5}\), где \(A = 2\pi\sqrt{2MR/g}\), и \[T^2 = \frac{8\pi^2 MR}{g}\cdot\frac{1}{m}.\] При соответствии данных модели зависимость \(T^2\!\left(\frac{1}{m}\right)\) линейна с угловым коэффициентом \(k = \frac{8\pi^2 MR}{g}\).

Погрешность \(T^2\) оцениваем как \(\Delta(T^2) = 2T\,\Delta T\), где \(\Delta T = \sqrt{(\Delta T_{\text{сист}})^2 + (\Delta T_{\text{сл}})^2}\). Систематическая часть \(\Delta T_{\text{сист}} \approx \Delta t/N \approx 0{,}05\) с (\(\Delta t\) — погрешность времени 10 колебаний), случайная погрешность много меньше систематической. По графику найдено \(k = 0{,}16 \pm 0{,}01\) кг\(\cdot\)с\(^2\). Отсюда масса пластмассового кольца \(M = 36 \pm 2\) г.