Ёлочная гирлянда

Пусть номинальное напряжение каждой из пятнадцати старых лампочек равно \(U_0\). Тогда, поскольку лампочки горели нормальным накалом, напряжение сети равно \[U = NU_0\] (\(N = 15\)), сопротивление каждой лампочки — \[r_1 = \dfrac{U_0^2}{P_1},\] а полная выделяемая мощность — \[P_{\text{ст}} = NP_1.\] Поскольку лампочки-заменители рассчитаны на то же напряжение, но имеют номинальную мощность \(P_2 = P_1/2\), сопротивление каждой новой лампочки есть \[r_2 = \dfrac{U_0^2}{P_2}\] и, следовательно, общее сопротивление новой цепи будет равно \[R = (N-k)r_1 + kr_2 = U_0^2\left(\dfrac{N-k}{P_1} + \dfrac{k}{P_2}\right)\] (\(k = 5\)). Поэтому полная мощность, выделяемая в новой цепи будет равна \[P_{\text{нов}} = \dfrac{U^2}{R} = \dfrac{N^2}{\left(\dfrac{N-k}{P_1} + \dfrac{k}{P_2}\right)} = \dfrac{N^2P_1P_2}{(N-k)P_2 + kP_1}\] Поскольку мощность новых лампочек составляет половину старых, имеем \[P_{\text{нов}} = \dfrac{N^2P_1P_2}{(N-k)P_2 + kP_1} = \dfrac{N^2P_1}{N+k} = \dfrac{N}{N+k}P_{\text{ст}} = \dfrac34P_{\text{ст}} = 56{,}3\text{ Вт}\] Таким образом, выделяемая в новой цепи мощность составляет три четверти от мощности, выделяемой в старой.

Найдем теперь, какая мощность будет выделяться на старых и новых лампочках в новой цепи. Поскольку ток, текущий через лампочки одинаков (последовательное соединение), а сопротивление каждой новой лампочки в 2 раза больше сопротивления старой, из закона Джоуля–Ленца заключаем, что мощность, выделяемая на каждой новой лампочке, будет в 2 раза больше мощности, выделяемой на каждой старой. Поэтому \[(N-k)P_1^{\text{нов}} + kP_2^{\text{нов}} = P_{\text{нов}}\quad\Rightarrow\quad 10P_1^{\text{нов}} + 2\cdot5P_1^{\text{нов}} = \dfrac34\,15P_1\quad\Rightarrow\quad P_1^{\text{нов}} = \dfrac{45}{80}P_1 = 2{,}8\text{ Вт}\] \[P_2^{\text{нов}} = \dfrac{45}{40}P_1 = 5{,}6\text{ Вт}\]