Три сосуда с нагревателями

При нагреве до максимальной температуры количество теплоты, отдаваемое сосудами окружающей среде, равно количеству теплоты, выделяемому нагревателем. С другой стороны, теплоотдача складывается из потока тепла через боковые стенки, дно и поверхность. Поэтому для мощности теплоотдачи \(w\) первым сосудом имеем \[w = \lambda_1S_1(t_1-t_0) + \lambda_2S_2(t_1-t_0) + \lambda_3S_1(t_1-t_0),\] где \(\lambda_1\), \(\lambda_2\) и \(\lambda_3\) — коэффициенты пропорциональности, определяющие теплоотдачу дна, боковых стенок сосуда и поверхности, \(S_1\) — площадь дна и поверхности, \(S_2\) — площадь боковых стенок первого сосуда.

Для мощности теплоотдачи в случае второго сосуда имеем \[w = \lambda_1S_1(t_2-t_0) + \lambda_22S_2(t_2-t_0) + \lambda_3S_1(t_2-t_0)\] Аналогично для нагревания воды в теретьенм сосуде \[w = \lambda_1S_1(t_2-t_0) + \lambda_24S_2(t_2-t_0) + \lambda_3S_1(t_2-t_0)\] Отсюда \[\begin{align*} (t_1-t_0)(\lambda_1S_1+\lambda_3S_1+\lambda_2S_2) &= (t_2-t_0)(\lambda_1S_1+\lambda_3S_1+2\lambda_2S_2)\\ (t_1-t_0)(\lambda_1S_1+\lambda_3S_1+\lambda_2S_2) &= (t_3-t_0)(\lambda_1S_1+\lambda_3S_1+4\lambda_2S_2) \end{align*}\] Решение этой системы уравнений проще провести «в числах». Поскольку \(t_1-t_0 = 70^\circ C\), \(t_2-t_0 = 60^\circ C\), то, вводя обозначения \(X = \lambda_1S_1+\lambda_3S_1\), \(Y = \lambda_2S_2\), \(Z = t_3-t_0\), получим \[\begin{align*} 70(X+Y) &= 60(X+2Y)\\ 70(X+Y) &= Z(X+4Y)\tag{*} \end{align*}\] Система двух уравнений (*) содержит три неизвестных величины, и потому не может быть разрешена относительно всех неизвестных. Тем не менее, величину \(Z\) из нее можно найти. Действительно, если вынести за скобку в правой и левой частях первого и второго равенства величину \(X\) и сократить, то система будет содержать только две неизвестных — величину \(Z\) и отношение \(Y/X\), которые, следовательно, могут быть найдены. Выражая из первого равенства величину \(X\) \[X = 5Y\] и подставляя во второе, получим \[Z = 46{,}7^\circ C\] или \[t_3 = 66{,}7^\circ C\]