Шарик у заземлённой стенки

Заряд стенки эквивалентен зеркальному изображению шарика с зарядом \(-q\) на расстоянии \(2R\) от шарика, где \(R\) — расстояние до стенки в момент пробоя. Напряжённость максимальна у ближайшей к стенке точки шарика. Энергию взаимодействия с изображением берите с учётом того, что изображение не имеет кинетической энергии.

Заряд стенки эквивалентен зеркальному изображению шарика: за стенкой на том же расстоянии находится шарик с зарядом \(-q\). Потенциал шарика создаётся его собственным зарядом \(kq/r\) и изображением; взаимодействие шарика с изображением даёт энергию \(-kq^2/(4R)\) (в два раза меньше кулоновской, так как изображение не имеет кинетической энергии). Полный потенциал шарика \(\dfrac{kq}{r} - \dfrac{kq}{2R}\), разность потенциалов между шариком и стенкой \[U = \frac{kq(2R - r)}{2Rr}.\] Напряжённость у ближайшей к стенке точки складывается из полей заряда шарика \(kq/r^2\) и изображения \(kq/(2R)^2\): \[E = \frac{kq}{r^2} + \frac{kq}{4R^2} = \frac{kq(4R^2 + r^2)}{4r^2R^2}, \qquad kq = E_{\text{кр}}\frac{4r^2R^2}{4R^2 + r^2}.\] В момент пробоя \(R = D - L\cos\varphi\), и \[U = \frac{2E_{\text{кр}}\,r\,R\,(2R - r)}{4R^2 + r^2}.\]

Из условия равновесия шарика: сила тяжести \(mg\) и горизонтальная сила притяжения к изображению \(\dfrac{kq^2}{4R^2}\) дают \[\frac{kq^2}{4R^2} = mg\operatorname{tg}\varphi \quad\Rightarrow\quad m = \frac{kq^2\operatorname{ctg}\varphi}{4gR^2} = \frac{4E_{\text{кр}}^2\,r^4R^2\,\operatorname{ctg}\varphi}{k\,g\,(4R^2 + r^2)^2}.\]

Ответ: \(U = \dfrac{2E_{\text{кр}}\,r\,R\,(2R - r)}{4R^2 + r^2}\), \(m = \dfrac{4E_{\text{кр}}^2\,r^4R^2\,\operatorname{ctg}\varphi}{k\,g\,(4R^2 + r^2)^2}\), где \(R = D - L\cos\varphi\).