Катушка с диодом

ЭДС индукции в катушке равна \(-\dfrac{d\Phi}{dt}\), где \(\Phi = NSB\). Диод открыт, когда ток может течь, и тогда напряжение на нём равно нулю. Пока диод закрыт, тока нет.

Из-за переменного магнитного поля в катушке возникает ЭДС индукции \[\mathcal{E} = -\frac{d\Phi}{dt} = -L\frac{dI}{dt} - \omega B_0 N S\cos\omega t,\] и эта величина совпадает с напряжением на диоде. В начальный момент ток и его производная равны нулю, поэтому \(\mathcal{E} < 0\) и диод закрыт. В момент \(t_0\), когда \(\omega t_0 = \pi/2\), диод открывается (напряжение на нём становится равным нулю), и \[L\frac{dI}{dt} = -\omega B_0 N S\cos\omega t.\] Отсюда \[I(t) = \frac{B_0 N S}{L}\bigl(1 - \sin\omega t\bigr) \quad \text{при } t \geqslant t_0 = \frac{\pi}{2\omega}.\]

Ток неотрицателен: в моменты \(\omega t = 5\pi/2 + 2\pi k\) он лишь касается нуля (там же \(dI/dt = 0\)), и далее зависимость продолжается.

При изменённом направлении \(B_0\) ЭДС \(\mathcal{E} = -L\dfrac{dI}{dt} + \omega B_0 N S\cos\omega t\), диод открывается сразу, и \[I(t) = \frac{B_0 N S}{L}\sin\omega t,\] однако в момент \(2t_0 = \pi/\omega\) ток обращается в ноль, и диод закрывается, пока \(\cos\omega t < 0\), то есть до момента \(3t_0 = \dfrac{3\pi}{2\omega}\). После этого диод снова открыт, \(L\dfrac{dI}{dt} = \omega B_0NS\cos\omega t\), и с учётом \(I(3t_0) = 0\) \[I(t) = \frac{B_0 N S}{L}\bigl(\sin\omega t - \sin\omega\cdot 3t_0\bigr) = \frac{B_0 N S}{L}\bigl(1 + \sin\omega t\bigr) \quad \text{при } t \geqslant 3t_0,\] то есть, как и в первом случае, ток колеблется от нуля до \(2B_0NS/L\).

Графики тока: вверху — при исходном направлении \(B_0\), внизу — при изменённом.

Ответ: при исходном направлении \(B_0\) ток \(I(t) = \dfrac{B_0 N S}{L}(1 - \sin\omega t)\) при \(t \geqslant \dfrac{\pi}{2\omega}\) и ноль до этого момента; при изменённом направлении сначала \(I = \dfrac{B_0 N S}{L}\sin\omega t\) при \(t \leqslant 2t_0\), затем ток равен нулю до \(3t_0\), а после \(I = \dfrac{B_0 N S}{L}(1 + \sin\omega t)\).