Космонавты с тросом

Разложите движение на равномерное движение центра масс и равномерное вращение вокруг него. Условия встречи запишите отдельно по двум осям, а затем используйте \(\sin^2 + \cos^2 = 1\).

Направим оси \(x\) вдоль \(a\) и \(y\) вдоль \(b\). Сначала центр масс космонавтов приближался к цели вдоль \(x\) со скоростью \(V\). После работы ранца космонавт А приобрёл скорость \(V_\perp\), перпендикулярную тросу, и \(V\) вдоль троса, причём \(V_\perp/V = b/a\). Центр масс стал двигаться и вдоль \(y\) со скоростью \(V_\perp/2\). В системе центра масс оба космонавта движутся по окружности радиуса \(L/2\) с угловой скоростью \(\omega = V_\perp/L\).

Условие встречи с целью по оси \(y\) (путь центра масс \(V_\perp T/2\), угол поворота троса \(\omega T\)): \[\frac{V T b}{2a} = b \pm \frac{L}{2}\sin(\omega T).\] По оси \(x\) до цели путь \(a + L/2\): \[V T = a + \frac{L}{2} \pm \frac{L}{2}\cos(\omega T).\] Выражая \(\sin\omega T\) и \(\cos\omega T\) и используя \(\sin^2\omega T + \cos^2\omega T = 1\), получаем квадратное уравнение относительно \(T\); его решения дают ответ. Знак \(\pm\) соответствует тому из космонавтов, который окажется у цели.

Ответ: \(T = \dfrac{2a\left(K \pm \sqrt{K^2 - (b^2 + a^2 + aL)(b^2 + 4a^2)}\right)}{V(b^2 + 4a^2)}\), \(K = b^2 + 2a^2 + aL\).