Задачи › Уравнение состояния

Газ в цепочке шаров

  1. Газ в цепочке шаров

    Санкт-Петербургская 2020/21, 11 кл.
    5/10

    Имелось \(N\) одинаковых шаров, заполненных равным количеством идеального газа. Температуру каждого шара всегда поддерживают постоянной, величины этих температур \(T_1, T_2, \dots, T_N\) известны. Все шары соединили с помощью тонких трубочек в цепочку и подключили к системе манометр \(M\) (см. рис.). Манометр показал давление \(P_0\). Экспериментатор хочет добиться, чтобы показания манометра стали \(P\). Для этого он подключает к цепочке ещё один такой же шар с газом. Какую температуру \(T_{N+1}\) необходимо в нём поддерживать? Суммарным объёмом соединительных трубочек, а также газом в манометре можно пренебречь.

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Запишите уравнение состояния для каждого шара при общем давлении и сохранении числа молей. В сумме появляются величины \(1/T_i\); исключите \(R\), \(\nu\) и \(V\), поделив два уравнения друг на друга.

    Ответ

    \(T_{N+1} = \left[\dfrac{N P}{(N+1)P_0 - NP}\displaystyle\sum_{i=1}^{N}\dfrac{1}{T_i}\right]^{-1}\); решение существует при \((N+1)P_0 > NP\).

    Решение

    Пусть \(\nu\) — количество вещества газа в каждом шаре до соединения, \(V\) — объём шара. После соединения давление во всех шарах выравнивается и становится равным \(P_0\). Для каждого шара \(P_0 V = \nu_i R T_i\), а суммарное количество вещества сохраняется: \(\sum_i \nu_i = N\nu\). Отсюда \[\frac{P_0 V}{R}\sum_{i=1}^{N}\frac{1}{T_i} = N\nu.\] После подключения ещё одного шара давление \(P\) и аналогично \[\frac{PV}{R}\left(\sum_{i=1}^{N}\frac{1}{T_i} + \frac{1}{T_{N+1}}\right) = (N+1)\nu.\] Исключая \(\nu/V\) из двух равенств, получаем \[T_{N+1} = \left[\frac{NP}{(N+1)P_0 - NP}\sum_{i=1}^{N}\frac{1}{T_i}\right]^{-1}.\] Знаменатель должен быть положительным, поэтому при \((N+1)P_0 \leqslant NP\) решения нет.

    Ответ: \(T_{N+1} = \left[\dfrac{NP}{(N+1)P_0 - NP}\displaystyle\sum_{i=1}^{N}\dfrac{1}{T_i}\right]^{-1}\) при \((N+1)P_0 > NP\).

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх