Брусочки

Направим координатную ось \(Ox\) вдоль вектора скорости брусков. В дальнейшем все величины будем проецировать на эту ось с учётом знака.

После упругого соударения верхнего бруска со стенкой его скорость изменит знак. Силы трения, действующие на бруски, изображены на рисунке 26 (чтобы не загромождать рисунок, здесь опущены нормальные реакции опоры).

\[F = \mu mg.\] Согласно второму закону Ньютона, ускорения брусков: \[a_1 = F/m = \mu g,\qquad a_2 = -F/m = -\mu g.\] Верхний брусок движется, замедляясь, влево, а нижний — замедляясь, вправо. Обратим внимание на то, что \(v_2 = -v_1\). Ускорение верхнего бруска относительно нижнего: \[a_{12} = 2\mu g.\] Возможны два случая.

Нижний брусок остановится, не доехав до стенки (одновременно с ним остановится и верхний брусок). При этом кинетическая энергия бруска пойдёт на совершение работы против силы трения. Отсюда определим \(b\). \[a_{12}m(b - b_0) = 0 - \dfrac{m(2v_0)^2}{2},\qquad b = b_0 - \dfrac{v_0^2}{\mu g}.\] Если \(mv_0^2/2 \geqslant \mu mgb_0\), то нижний брусок доедет до стенки со скоростью \(v_k\), которую можно найти из закона сохранения энергии: \[\dfrac{mv_k^2}{2} = \dfrac{mv_0^2}{2} - \mu gb_0m,\qquad\text{откуда}\qquad v_k = \sqrt{v_0^2 - 2\mu gb_0}.\] После упругого столкновения бруска со стенкой его скорость сменит знак, и далее система будет двигаться с этой скоростью как одно целое.

Теперь найдём \(b\):

\[a_{12}(b - b_0) = \dfrac{(2v_k)^2}{2} - \dfrac{(2v_0)^2}{2} = \dfrac{8\mu gb_0}{2},\qquad\text{откуда}\qquad b = b_0 - \dfrac{8\mu gb_0}{2\cdot 2\mu g} = -b_0.\] Таким образом: \[b = b_0 - \dfrac{v_0^2}{\mu g},\quad\text{если}\quad v_0 < \sqrt{2\mu gb_0},\] \[b = -b_0,\quad\text{если}\quad v_0 \geqslant \sqrt{2\mu gb_0}.\] График зависимости \(b(v_0^2)\) (линейные координаты) приведён на рисунке 27: