Куб с силой на ребре

Выразите условие отсутствия скольжения через угол наклона силы и трение. Опрокидывание начинается, когда момент силы относительно нижнего ребра сравнивается с моментом силы тяжести. Минимальная сила соответствует совпадению граничных условий.

Пусть \(\alpha\) — угол наклона линии действия силы \(\vec F\) к горизонтали. Отсутствие скольжения: \(F_{тр} = F\cos\alpha \le \mu N\), где \(N = mg - F\sin\alpha\), откуда \[\frac{mg}{F} \ge \frac{\cos\alpha + \mu\sin\alpha}{\mu}.\] В момент начала опрокидывания точка приложения силы реакции смещается на нижнее ребро, и момент силы \(\vec F\) относительно ребра не меньше момента силы тяжести: \(F\,a\sqrt2\cos\!\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right) \ge mg\,\frac{a}{2}\), откуда \[\frac{mg}{F} \le 2\left[\cos\alpha + \sin\alpha\right].\] Минимальная сила соответствует максимуму \(mg/F\) при совпадении границ, то есть при \(\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{1-2\mu}{\mu}\) (при \(\mu < 1/3\) это \(\alpha > 45^\circ\)). Подставляя, получаем \[F_{\min} = \frac{\sqrt{1 - 4\mu + 5\mu^2}}{2(1-\mu)}\,mg \approx 1{,}59~\text{Н}.\] При \(\mu \ge 1/3\) ответ был бы другим: \(F_{\min} = \dfrac{mg}{2\sqrt2}\).