Темные звёзды

Для тёмной звезды сравните кинетическую энергию частицы на поверхности с потенциальной энергией на расстоянии \(2R\). Для двойной системы используйте закон всемирного тяготения и отношение масс через радиусы орбит. Для блуждающих звёзд угол поворота скорости зависит только от комбинации \(GM/(r_m v_0^2)\).

1.1. В корпускулярной теории света частица массой \(\delta m\), стартующая со скоростью \(c\) с поверхности сферически симметричной звезды радиуса \(R\) и массы \(m\), имеет механическую энергию \(\delta E = \delta m\left(\dfrac{c^2}{2} - \dfrac{Gm}{R}\right)\). Она не сможет удалиться дальше \(2R\) от центра, если \(\delta E \le -\dfrac{Gm}{2R}\,\delta m\). Отсюда \(R \le \dfrac{Gm}{c^2}\). Для \(m = m_S\) получаем \(R_S = \dfrac{Gm_S}{c^2} \approx 1{,}5\) км — значительно меньше радиуса Солнца. (Если отсчитывать расстояние от поверхности звезды, получается \(R \le \dfrac{4Gm}{3c^2}\), \(R_S \approx 2\) км; такие решения тоже засчитывались.)

1.2. Характерные скорости и ускорения в двойной системе не отличаются радикально от тех, что мы наблюдаем в Солнечной системе, поэтому используем законы Ньютона. Пусть \(m\) — масса наблюдаемой звезды, \(m_X\) — масса невидимого компаньона, \(r = 9\) а.е. — радиус орбиты наблюдаемой звезды. Тогда радиус орбиты компаньона \(R = \dfrac{m}{m_X}r\), расстояние между звёздами \(L = \dfrac{m_X + m}{m_X}r\), и центростремительное уравнение для наблюдаемой звезды: \[\omega^2 r = \frac{G m_X}{L^2} \quad\Rightarrow\quad \frac{m_X^3}{(m_X+m)^2} = \frac{\omega^2 r^3}{G}.\] Для Земли вокруг Солнца \(\omega_E^2 a^3 = G m_S\) (\(a = 1\) а.е., \(T_E = 1\) год), поэтому \[\frac{m_X^3}{(m_X+m)^2} = \left(\frac{r}{a}\right)^3\left(\frac{T_E}{T}\right)^2 m_S = 7{,}29\,m_S.\] Данные астрономов не позволяют установить массу компаньона однозначно. Во-первых, \(m_X^3 = 7{,}29\,m_S(m_X+m)^2 \ge 7{,}29\,m_S\,m_X^2\), откуда \(m_X \ge 7{,}29\,m_S\). Во-вторых, при \(m = m_S\) получаем \(m_X = 9\,m_S\), при \(m = 10\,m_S\) — \(m_X \approx 17{,}8\,m_S\), при \(m = 50\,m_S\) — \(m_X \approx 38{,}5\,m_S\). Если считать \(m \ll m_X\) (такие «практически круговые» орбиты чаще всего возникают, когда одно из тел намного массивнее остальных), то \(m_X \approx 7{,}29\,m_S \approx 14{,}6\cdot10^{30}\) кг; точнее, с ошибкой лучше \(10\%\), \(m_X \approx 15\cdot10^{30}\) кг.

1.3. Из уравнения движения «блуждающей звезды» \(\vec a = -\dfrac{GM}{r^3}\vec r\) видно, что траектория не зависит от массы звезды. Траектория определяется скоростью на бесконечности \(v_0\), расстоянием наибольшего сближения \(r_m\) и величиной \(GM\). Угол поворота вектора скорости — безразмерная величина, и единственная безразмерная комбинация этих величин — \(\dfrac{GM}{r_m v_0^2}\). Поэтому одинаковый угол поворота для двух звёзд в поле одного объекта возможен, если \(r_{m1}v_1^2 = r_{m2}v_2^2\). Следовательно, \[r_{m2} = \left(\frac{v_1}{v_2}\right)^2 r_{m1} = \left(\frac{5}{4}\right)^2\cdot 24~\text{а.е.} = 37{,}5~\text{а.е.}\]