Тайная субстанция

Из изотермы и изохоры следует вид уравнения состояния \(p = \dfrac{f(m)}{V^2}(T_0 + T)\). Запишите первый закон термодинамики для адиабатического процесса. Для вопроса 2 приравнивайте градиент давления весу тонкого сферического слоя.

2.1. Из изотермы и изохоры следует, что \(p = \dfrac{f(m)}{V^2}(T_0 + T)\), а из условия о давлении при постоянных \(T\) и \(V\) — что \(f(m) \propto m^2\), то есть \(p = C\dfrac{m^2}{V^2}(T_0+T)\), \(C = \text{const}\). Для адиабатического процесса с постоянной массой \(\delta Q = p\,dV + dU = 0\), и с учётом внутренней энергии получаем \[C m^2 (T_0 + T)\frac{dV}{V^2} - \alpha m^2\frac{dV}{V^2} + 2\beta m T\,dT = 0 \quad\Rightarrow\quad d\rho = -m\frac{dV}{V^2} = \frac{2\beta T}{C(T_0+T) - \alpha}\,dT.\] Это уравнение линейно в координатах «плотность–температура» (то есть \(d\rho = K\,dT\)) только если \(C = \dfrac{\alpha}{T_0}\), и тогда \[K = \frac{2\beta}{C} = \frac{2\beta T_0}{\alpha} = 34\,600~\text{кг/(м}^3\cdot\text{К)} = 34{,}6~\text{г/(см}^3\cdot\text{К)}.\]

2.2. Ясно, что в указанных условиях Белый Тезис станет шаром со сферически симметричным распределением массы, в котором силы давления уравновешивают гравитационные силы. Ускорение свободного падения на расстоянии \(r\) от центра: \(g(r) = \dfrac{GM(r)}{r^2}\), где \(M(r)\) — масса внутри радиуса \(r\). Условие равновесия тонкого сферического слоя даёт \(dp\cdot 4\pi r^2 = -\rho\cdot 4\pi r^2\,dr\cdot g(r)\), то есть \[\frac{r^2}{\rho}\frac{dp}{dr} = -GM(r).\] При \(T = T_0\) из уравнения состояния \(p = 2\alpha\rho^2\), поэтому \(4\alpha r^2\dfrac{d\rho}{dr} = -GM(r)\). Продифференцировав и учтя \(\dfrac{dM}{dr} = 4\pi r^2\rho\), получим уравнение \[\frac{d^2\rho}{dr^2} + \frac{2}{r}\frac{d\rho}{dr} + \frac{\pi G}{\alpha}\rho = 0.\] Для \(z(r) = r\rho(r)\) это уравнение гармонических колебаний: \(\dfrac{d^2z}{dr^2} + \dfrac{\pi G}{\alpha}z = 0\). Так как масса конечна, \(z(0) = 0\), и \(\rho(r) = \dfrac{A}{r}\sin\!\left(\sqrt{\dfrac{\pi G}{\alpha}}\,r\right)\). Граница Белого Тезиса — там, где плотность (а вместе с ней и давление) обращается в ноль: \(\sqrt{\dfrac{\pi G}{\alpha}}\,R = \pi\), откуда \[R = \sqrt{\frac{\pi\alpha}{G}} \approx 21{,}7~\text{см}.\] Константа \(A\) находится из полной массы: \(M = 4\pi\int_0^R\rho r^2\,dr = \dfrac{4\pi\alpha}{G}A\), то есть \(A = \dfrac{GM}{4\pi\alpha}\). Плотность в центре: \(\rho(0) = \left(\dfrac{G}{\alpha}\right)^{3/2}\dfrac{M}{4\sqrt\pi}\), а давление в центре \[p(0) = 2\alpha\,\rho^2(0) = \frac{G^3M^2}{8\pi\alpha^2} \approx 0{,}3~\text{мкПа}.\]