Две планеты и спутники

Масса планеты равна плотности, умноженной на объём шара. Для второго пункта выразите период через плотность и отношение \((R+h)/R\) для каждой орбиты.

1) Для планеты Альфа-1 \(mg = G\dfrac{mM_1}{(4R)^2}\), где \(M_1 = \dfrac{4}{3}\pi R^3\rho\). Отсюда \[g = \frac{G}{16R^2}\cdot\frac{4}{3}\pi R^3\rho = \frac{\pi}{12}\,G\rho R .\]

2) Из второго закона Ньютона для спутника и связи \(v = \dfrac{2\pi(R+h)}{T}\): \[T^2 = \frac{4\pi^2(R+h)^3}{GM} = \frac{3\pi}{G\rho_i}\left(1 + \frac{h}{R}\right)^3 .\] Поэтому \[\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2 = \frac{\rho_1}{\rho_2}\left(\frac{1 + h_2/R}{1 + h_1/R}\right)^3 = \frac{1}{2}\left(\frac{5}{3}\right)^3 ,\] и \(\dfrac{T_2}{T_1} = \dfrac{5}{3}\sqrt{\dfrac{5}{6}} \approx 1{,}52\).