Задачи › Сообщающиеся сосуды, гидравлический пресс

Сообщающиеся сосуды, груз на поршне

  1. Сообщающиеся сосуды, груз на поршне

    Физтех 2021/22, 9 кл.
    4/10

    На горизонтальной поверхности расположены два цилиндрических сообщающихся сосуда (см. рис.), в которые налита жидкость плотности \(\rho\). На свободных поверхностях жидкости находятся лёгкие поршни. Зазоров между стенками сосудов и поршнями нет. Левый поршень соединён пружиной жёсткости \(k\) с верхней опорой. Разность уровней жидкости в сосудах равна \(h\). Площадь сечения левого поршня \(S\), правого \(1{,}5S\). Трение поршней о стенки сосудов пренебрежимо мало. Ускорение свободного падения \(g\).

    Рисунок

    1. Найдите деформацию \(x\) пружины.

    2. На правый поршень положили груз массой \(m\). Найдите массу \(M\) груза, который следует положить на левый поршень, чтобы пружина стала недеформированной. Поршни при этом не достигают дна.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Давления под поршнями в каждом сосуде связаны гидростатикой через уровни жидкости. Во втором пункте учтите перемещения поршней и условие несжимаемости жидкости.

    Ответ

    1) \(x = \dfrac{\rho g h S}{k}\);  2) \(M = \dfrac{2}{3}\,m + \rho h S\left(1 + \dfrac{5\rho g S}{3k}\right)\).

    Решение

    1) Пусть \(P\) — давление под левым поршнем, \(P_0\) — атмосферное давление, \(x\) — сжатие пружины. Тогда \(P = P_0 + \rho g h\). Условие равновесия поршня: \(kx + P_0 S = PS\), откуда \(P = P_0 + \dfrac{kx}{S}\). Из этих соотношений \(\rho g h = \dfrac{kx}{S}\), то есть \[x = \frac{\rho g h S}{k} .\]

    2) Левый поршень опустился на \(x\), а правый поднялся на \(x'\). Из постоянства объёма жидкости \(Sx = 1{,}5\,S x'\), то есть \(x' = \dfrac{2}{3}\,x\). В новом положении равновесия пружина недеформирована, и \[\frac{Mg}{S} = \frac{mg}{1{,}5S} + \rho g\,(h + x + x') .\] Отсюда, с учётом \(x + x' = \dfrac{5}{3}\,x\) и выражения для \(x\): \[M = \frac{2}{3}\,m + \rho h S\left(1 + \frac{5\rho g S}{3k}\right) .\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх