Задачи › Вертикальное движение, свободное падение

Два выстрела

  1. Два выстрела

    «Покори Воробьёвы горы!» 2024/25, 7–9 кл.
    5/10

    Часть II (проверялись решения).

    Доктор Ватсон по заданию Шерлока Холмса дежурил на воздушном шаре, который удерживался неподвижным с помощью троса, закреплённого на Земле. Погода была безветренной. Холмсу нужно было отправить Ватсону записку, и для этого он помещал её в небольшой шарик и выстреливал этим шариком вертикально вверх из трубки с маломощным зарядом, подбирая заряд и целясь таким образом, чтобы шарик пролетал рядом с корзиной шара уже с небольшой скоростью, и Ватсон мог его поймать специальным сачком. В первый раз шарик пролетел совсем рядом с корзиной, но Ватсону не удалось его поймать сразу, зато он поймал его на пути вниз — через \(t_1=7{,}5\) с после выстрела. Через небольшое время Холмсу понадобилось отправить Ватсону ещё одну записку, и он использовал точно такой же заряд. В этот раз Ватсон поймал шарик с первой попытки — на пути вверх через \(t_2=6{,}9\) с после выстрела. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите скорость, с которой вылетали шарики из трубки, и высоту, на которой находилась корзина воздушного шара. Ускорение свободного падения считайте равным \(g\approx 9{,}8\) м/с\(^2\). С какими скоростями летели шарики в моменты времени, когда Ватсон их ловил?

    Указание: в соответствии с условием движение шарика — равноускоренное, то есть проекция его скорости на ось, направленную вертикально вверх, уменьшается на \(9{,}8\) м/с за каждую секунду.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Высота шарика в зависимости от времени — парабола. Два момента времени, когда шарик проходит одну и ту же высоту, — корни квадратного уравнения; воспользуйтесь теоремой Виета.

    Ответ

    Начальная скорость шариков \(v_0=\dfrac{g(t_1+t_2)}{2}\approx 70{,}56\) м/с; корзина воздушного шара находилась на высоте около \(H=\dfrac{g\,t_1t_2}{2}\approx 253{,}6\) м; в момент «поимки» оба шарика летели с одинаковыми скоростями \(v_1=v_2=\dfrac{g(t_2-t_1)}{2}\approx 2{,}94\) м/с.

    Решение

    Как ясно из указания, скорость шарика, запущенного вертикально вверх со скоростью \(v_0\), спустя время \(t\) после старта равна \(v(t)=v_0-gt\). При линейном изменении скорости средняя скорость на участке пути равна полусумме начальной и конечной скоростей. Поэтому высота, на которой оказывается шарик спустя время \(t\), равна \[H=\tfrac{1}{2}(v_0+v_0-gt)\,t=v_0t-\frac{gt^2}{2}.\] Таким образом, оба заданных времени являются корнями квадратного уравнения \[t^2-2\frac{v_0}{g}\,t+\frac{2H}{g}=0.\] По теореме Виета \[2\frac{v_0}{g}=t_1+t_2\ \Rightarrow\ v_0=\frac{g(t_1+t_2)}{2}\approx 70{,}56~\text{м/с},\] \[\frac{2H}{g}=t_1\cdot t_2\ \Rightarrow\ H=\frac{g\,t_1t_2}{2}\approx 253{,}6~\text{м}.\] Шарик, пролетев вверх мимо корзины, тормозится до нулевой скорости за такое же время, за которое разгоняется при падении до корзины. Значит, скорости шарика при обоих пролётах мимо корзины одинаковы и равны скорости, набираемой за половину промежутка времени между пролётами: \[v_1=v_2=\frac{g(t_2-t_1)}{2}\approx 2{,}94~\text{м/с}.\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх