Длинная цепь

Длинная цепочка резисторов с бесконечным продолжением эквивалентна одному резистору: отрежьте одно звено и сопротивление не изменится. Затем сравните токи через амперметры по закону сохранения тока и напряжению моста.

Пусть \(R\) — сопротивление одного из резисторов. Всю длинную цепочку из 2020 резисторов (кроме трёх занумерованных и одного, включённого последовательно с цепочкой) можно заменить на один резистор \(R^*\), и при этом для расчёта его сопротивления можно воспользоваться тем соображением, что при отсечении от такой цепочки одного звена её сопротивление практически не изменится. Поэтому \[R^*=\frac{R(2R+R^*)}{3R+R^*}\ \Rightarrow\ R^{*2}+2RR^*-2R^2=0\ \Rightarrow\ R^*=(\sqrt3-1)R.\] Значит, общее сопротивление в «правой нижней» ветви схемы равно \(R_n=\sqrt3\,R\), причём это именно общее сопротивление всех «незанумерованных» резисторов схемы. Теперь видно, что мост не является сбалансированным (\(R^2\neq\sqrt3R^2\)), и через лампу течёт ненулевой ток.

Общее напряжение, создаваемое источником на всей «мостовой» схеме, равно \[U=I_1R+I_4R=I_3R+I_2R_n\ \Rightarrow\ I_1+I_4=I_3+\sqrt3\,I_2.\] Здесь \(I_{1,2}\) — силы токов через амперметры, а \(I_{3,4}\) — через резисторы в ветвях моста без амперметров (№ 3 — «выше» на схеме, № 4 — «ниже»). С другой стороны, условие непрерывности тока даёт \[I_1+I_3=I_2+I_4.\] Складывая эти два уравнения почленно и сокращая одинаковые слагаемые, получаем \(2I_1=(\sqrt3+1)I_2\), и показания амперметра A2 равны \[I_2=\frac{2I_1}{\sqrt3+1}\approx 2000~\text{мА}\] с ошибкой около \(0{,}5\) мА.