Задачи › Движение газа, истечение

Пороховой ракетный двигатель

  1. Пороховой ракетный двигатель

    «Покори Воробьёвы горы!» 2024/25, 7–9 кл.
    8/10

    В качестве стартовых силовых установок и ускорителей используются пороховые ракетные двигатели (твердотопливные реактивные двигатели, в которых в качестве топлива используется бездымный порох). Самые ранние сведения об использовании твердотопливных ракет (китайских пороховых ракет) относятся к XIII веку. Вплоть до XX века все ракеты использовали ту или иную форму твёрдого топлива. Важной характеристикой таких двигателей является скорость истечения продуктов сгорания пороха из сопла двигателя. Конечно, точный расчёт этой скорости — очень сложная задача, и скорость истечения зависит и от сорта пороха, и от конструкции камеры сгорания и сопла, и даже от способа и условий запуска горения. На практике для расчёта скорости истечения чаще всего используют эмпирические зависимости, получаемые на основании опытных данных. Пусть, например, для некоторого типа двигателей и конкретного сорта пороха была подобрана зависимость скорости истечения \(u\) от давления в камере сгорания \(p\): \[u=\xi\cdot\left(\frac{p}{1~\text{Па}}\right)^{\alpha},\] где \(\xi\) и \(\alpha\) — подобранные коэффициенты, связанные с характеристиками пороха и зависящие от параметров двигателя (например, от площади сопла). Впрочем, измерения показали, что для изучаемых двигателей эти величины не являются независимыми: на графике приведены их значения для нескольких двигателей этого типа при использовании одинакового сорта пороха. Как видно, связь \(\ln(\xi)\) с \(\alpha\) с удовлетворительной для оценочных вычислений точностью может быть описана линейной зависимостью (на графике показана соответствующая прямая): \[\ln\!\left[\frac{\xi}{1~\text{мм/с}}\right]=b-k\,\alpha,\] где \(b\) и \(k\) — постоянные для данного типа двигателей и этого топлива параметры.

    Рисунок

    Кроме того, известно, что на скорость истечения оказывает влияние и температура в камере сгорания. Известно, что с увеличением этой температуры увеличивается и скорость истечения. Характер этой зависимости также сложно получить теоретически, и поэтому здесь тоже используют эмпирические зависимости. Для этого измеряют скорость истечения при различных температурах, а затем подбирают подходящую зависимость. Исследования показали, что влияние температуры можно учесть, вводя «корректирующий» множитель, который показывает, как отличается скорость истечения при температуре \(T\) от скорости при «номинальной» температуре \(T_N=+20\,^\circ\)C: \[u(T)=u_N\cdot\exp\{\beta(T-T_N)\},\] где величина \(\beta\) — это коэффициент температурной чувствительности топлива. Было установлено, что для изучаемых двигателей он зависит в основном от величины давления в камере сгорания. На графике показаны экспериментальные значения температурной чувствительности для наших сортов пороха, измеренные при различных давлениях, а также аппроксимирующая кривая для этой зависимости.

    Рисунок

    В результате мы получили эмпирическую формулу для расчёта скорости истечения: \[u(p,T)=\xi\cdot\left(\frac{p}{1~\text{Па}}\right)^{\alpha}\cdot\exp\{\beta(T-T_N)\},\] в которой \(\xi=\xi(\alpha)\) и \(\beta=\beta(p)\).

    Определите скорость истечения газа из сопла в установившемся режиме, при котором температура в камере сгорания \(T=1730\,^\circ\)C, а давление \(p=2\) МПа. Известно, что изменение площади сопла, при котором скорость истечения уменьшится в два раза при тех же температуре и давлении, соответствует уменьшению коэффициента \(\alpha\) в \(k=1{,}175\) раза.

    Математическая подсказка: логарифмическая и показательная функции в математике — взаимно обратные. В физике особую роль играет экспонента — показательная функция, основанием которой является «замечательное» число \(e\approx 2{,}7218281828\ldots\) (в оригинале опечатка: \(e\approx 2{,}71828\ldots\)). Таким образом, для вычисления экспоненты нужно возвести это число в степень аргумента: \(\exp(x)\equiv e^x\). Логарифм по основанию \(e\) называют натуральным: \(y=e^x\Leftrightarrow x=\ln(y)\).

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Из графика найдите \(b\) и \(k\). Уменьшение скорости вдвое вместе с уменьшением \(\alpha\) даёт уравнение на \(\alpha\).

    Ответ

    \(u\approx 4\) км/с.

    Решение

    Сначала определим постоянные \(b\) и \(k\) в эмпирической зависимости скорости истечения от \(\alpha\) по двум точкам интерполирующей прямой: \(1=b-0{,}2k\), \(-1=b-0{,}6k\), откуда \(b=2\), \(k=5\): \[\ln\!\left[\frac{\xi}{1~\text{мм/с}}\right]=2-5\alpha.\] Теперь используем условие: для значения скорости истечения \(u'=\tfrac{1}{2}u\) \[\frac{u}{u'}=2=\frac{\xi}{\xi'}\left(\frac{p}{1~\text{Па}}\right)^{\alpha-\alpha'} =e^{-5(\alpha-\alpha')}\left(\frac{p}{1~\text{Па}}\right)^{\alpha-\alpha'} =\left(\frac{p}{e^5\,\text{Па}}\right)^{\alpha-\alpha'} \ \Rightarrow\ \alpha-\alpha'=\frac{\ln 2}{\ln\!\left(\dfrac{p}{e^5\,\text{Па}}\right)}\approx 0{,}073.\] Нам также известно, что \(\alpha'=\alpha/1{,}175\), и из полученных уравнений находим \(\alpha\approx 0{,}49\). Это позволяет определить \(\xi\) для исследуемого режима: \[\xi\approx 1\,\frac{\text{мм}}{\text{с}}\cdot e^{\,2-5\cdot 0{,}49}\approx 0{,}64\,\frac{\text{мм}}{\text{с}}.\] По второму графику определяем \(\beta\) для заданного давления: \(\beta\approx 0{,}5\,\%/^\circ\)C. Теперь скорость истечения по рекомендованной эмпирической формуле: \[u\approx 0{,}64\,\frac{\text{мм}}{\text{с}}\cdot(2\cdot 10^6)^{0{,}49}\cdot\exp\!\left[\frac{17{,}1}{2}\right]\approx 4{,}04\,\frac{\text{км}}{\text{с}}.\] Ответ: скорость истечения в этом режиме \(u\approx 4\) км/с.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх