Кастрюля в бассейне

Запишите условие равновесия кастрюли с водой внутри: сила давления воды снизу уравновешивает вес кастрюли и воды в ней. Получится линейная связь \(h'\) и \(h\); коэффициенты найдите по двум данным опытам.

Введём обозначения: \(M\) — масса кастрюли, \(S\) — площадь её внешнего горизонтального сечения, \(s\) — внутреннего, а \(\rho\) — плотность воды. Тогда условие равновесия плавающей кастрюли (сила давления воды снизу уравновешивает силу тяжести, действующую на кастрюлю и воду в ней): \[\rho h'S=M+\rho h s\ \Rightarrow\ h'=\frac{s}{S}h+\frac{M}{\rho S}\equiv a\,h+b.\] Атмосферное давление не нужно учитывать: оно давит на кастрюлю равномерно со всех сторон. По двум опытам находим коэффициенты: \[\begin{cases}64~\text{мм}=a\cdot 32~\text{мм}+b\\ 96~\text{мм}=a\cdot 72~\text{мм}+b\end{cases} \ \Rightarrow\ a=0{,}8,\quad b=38{,}4~\text{мм}.\] Таким образом, \(h'=0{,}8\,h+38{,}4\) мм. Кастрюля утонет при \(h'=H=160\) мм, то есть \[h=\frac{160~\text{мм}-38{,}4~\text{мм}}{0{,}8}=152~\text{мм}.\]