Метеозонд (ситуационная задача)

Запишите второй закон Ньютона для шара в проекциях на горизонталь и вертикаль: что уравновешивает силу натяжения троса? Предельная высота — там, где плотность воздуха такова, что сила Архимеда сравнялась с весом.

Второй закон Ньютона: по вертикали \(F_a - mg - T\cos\alpha = 0\), по горизонтали \(F_s - T\sin\alpha = 0\), откуда \(T = \dfrac{F_s}{\sin\alpha}\). После обрыва троса равнодействующая направлена под углом \(\alpha\) к вертикали противоположно силе \(T\), и шар из состояния покоя начинает двигаться в эту сторону. Дальше шар поднимается, пока сила Архимеда не станет равна силе тяжести: \(\rho g V = mg\), \(\rho = \dfrac{6m}{\pi D^3}\). Массу \(m\) находим из равновесия при заданных условиях у поверхности: \(m = \dfrac{\rho\pi D^2}{2g\tan\alpha}\left(\dfrac{Dg\tan\alpha}{3} - C_x\dfrac{v^2}{4}\right) \approx 4{,}5\) кг. Тогда \(\rho = \dfrac{6 \cdot 4{,}5}{3{,}14 \cdot 27} \approx 0{,}32\) кг/м\(^3\). По графику этой плотности соответствует высота \(H \approx 12\,000\) м.