Упругое соударение шайб по касательным линиям

Направьте ось \(y\) вдоль линии центров шайб в момент удара: при абсолютно упругом ударе силы взаимодействия действуют только вдоль неё, поэтому проекции скоростей на перпендикулярную ось не меняются. Геометрия касания задаёт угол скорости с этой осью.

Ось \(y\) в момент удара проходит через центры первой и второй шайб (от первой ко второй), ось \(x\) — через точку касания шайб (направо вверх). \(\beta\) — угол между \(\vec v\) и осью \(y\): \(\sin\beta=\dfrac{R}{2R}=\dfrac{1}{2}\), \(\beta=30^\circ\); \(v'_{1x}=v\sin\beta=\dfrac{v}{2}\).

При абсолютно упругом ударе силы взаимодействия действуют вдоль оси \(y\), поэтому проекции импульсов и скоростей шайб на ось \(x\) сохраняются. Записав ЗСЭ и ЗСИ на ось \(y\), получим \(v'_{2y}=v_{1y},\ v'_{1y}=v_{2y}=-2v\cos\beta\).

1) \(V_1=v'_1=\sqrt{v'^2_{1x}+v'^2_{1y}}=\sqrt{v^2\sin^2\beta+4v^2\cos^2\beta} =v\sqrt{1+3\cos^2\frac{\pi}{6}}=\dfrac{\sqrt{13}}{2}\,v\approx1{,}8\,v\).

2) \(\mathrm{tg}\,\gamma=\dfrac{v\sin\beta}{2v\cos\beta}=\dfrac{1/2}{2\cdot\sqrt{3}/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\); \(\alpha=\pi-\beta-\gamma=\dfrac{5}{6}\pi-\gamma\), где \(\mathrm{tg}\,\gamma=\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\) (ответ на второй вопрос: \(\alpha\approx2{,}33\) рад \(\approx133^\circ\)).

Замечание: задачу можно решить проще, перейдя в с.о., движущуюся со скоростью \(\vec V\). Тогда \(\alpha=\pi-\delta\), где \(\mathrm{tg}\,\delta=\dfrac{3\sqrt{3}}{5}\).