Осциллограф

Решение

A1. \[U(t)=\frac{q(t)}{C}=\frac{q_0}{C}\cos\left(2\pi ft\right),\]поэтому амплитуда напряжения \(U_0={q_0}/{C}\).

\[I(t)=\dot{q}(t)=-q_02\pi f\sin\left(2\pi ft\right),\]поэтому амплитуда тока:

Ответ:

\[I_0=2\pi f q_0\]

A2. Ответ:

При малых частотах \(Z_C={1}/{2\pi f C} \gg Z_R=R\), поэтому \(Z\approx Z_R=R\) и не зависит от частоты.

При больших частотах \(Z_C\ll Z_R\), поэтому \(Z\approx Z_C={1}/{2\pi fC}\).

B1. Соберем схему, показанную на рисунке 3. Один щуп осциллографа подключим напрямую к генератору для измерения напряжения на нем, другой щуп – последовательно с выданным резистором. При больших частотах второй канал осциллографа эквивалентен конденсатору емкостью \(C\). Предположим, что уже при \(f\sim 1~МГц\) выполняется \(Z \approx Z_C\). Пусть напряжение на конденсаторе меняется по закону: \[U_2=\frac{q_0}{C}\cos\left(2\pi ft\right)=\frac{I_0}{2\pi fC}\cos\left(2\pi ft\right)\qquad(1).\] Тогда для амплитуды напряжения на втором канале осциллографа имеем: \[I_{20}=I_0\cdot\frac{1}{2\pi fC}\qquad(2),\] Ток в цепи же в цепи конденсатора и \(C\) и резистора \(r\) меняется по закону: \[I(t)=\dot{q}(t)=-q_02\pi f\sin\left(2\pi ft\right)=-I_0\sin\left(2\pi ft\right)\qquad(3).\] Тогда напряжение на резисторе \(r\): \[U_r(t)=I(t)r=-I_0\sin\left(2\pi ft\right)\qquad(4).\] Напряжение на первом канале осциллографа складывается из напряжений на конденсаторе \(C\) и сопротивлении \(r\). \[U_1(t)=U_r+U_2=I(t)r=-I_0r\sin\left(2\pi ft\right)+\frac{I_0}{2\pi fC}\cos\left(2\pi ft\right)\qquad(5).\] Введем дополнительный угол: \[\phi=\operatorname{arctan}\frac{1}{2\pi fCr}.\qquad(6)\] Тогда для напряжения на первом канале осциллографа получаем: \[U_1(t)=I_0\sqrt{r^2+\left(\frac{1}{2\pi fC}\right)}\cos\left(2\pi ft+\phi\right).\qquad(7)\] И для амплитуды этого напряжения: \[U_10=I_0\sqrt{r^2+\left(\frac{1}{2\pi fC}\right)^2}.\qquad(8)\] Окончательно отношение амплитуд на первом и втором каналах осциллографа: \[\frac{U_{10}}{U_{20}}=\sqrt{1+\left(2\pi fCr\right)^2},\qquad(9)\] где \(f\) – частота сигнала генератора.

Рис. 3. Схема измерения емкости осциллографа

Измерим зависимость напряжений на двух каналах осциллографа от частоты сигнала. Построим график зависимости квадрата отношения амплитуд этих напряжений

\(\left(\dfrac{U_1}{U_2}\right)^2\) от квадрата частоты сигнала \(f^2\).

График зависимости \(\left(\frac{U_10}{U_20}\right)^2\) от \(f^2\)

Видно, что экспериментальные точки отлично описываются линейной функцией, т.е. предположение \(Z_C \ll Z_R\) на этих частотах выполняется. Угловой коэффициент графика данной зависимости составляет \[k =\left(2\pi Cr\right)^2 = 1.01 \cdot 10^{-12}~ с^2.\qquad(10)\] Откуда емкость осциллографа \[C =\frac{\sqrt{k}}{2\pi r}=145~пФ. \qquad(11)\]

Ответ:

\[C =145~пФ\]

B2. Для определения сопротивления осциллографа соберем схему, изображенную на рисунке 4.

Рис. 4. Схема измерения сопротивления осциллографа

При отключении осциллографа от батареи емкость осциллографа будет разряжаться через его внутреннее сопротивление. С помощью однократного срабатывания синхронизации запишем осциллограмму разрядки емкости. Используя курсоры и смещение осциллограммы, измерим зависимость напряжения на осциллографе от времени.

График зависимости \(\ln U\) от \(t\)

Напряжения на конденсаторе должно убывать по экспоненциальному закону:\[\ln U =\ln U_0-{t}/{RC}\qquad(12)\]где \(U_0\) – начальное напряжение на осциллографе. Построим график зависимости \(\ln U\) от \(t\). По угловому коэффициенту графика \(k_1 = 7.0\cdot103~с^{−1}\) найдем сопротивление осциллографа\[R =\frac{1}{k_1C}=1.03~МОм.\qquad(13)\]

Ответ:

\[R =1.03~МОм\]

Источник: pho.rs/p/4059.