Отражение и преломление

Решение

A1. Попробуем направлять луч лазера в разные области датчика и следить за показаниями. Измерения показывают, что при попадании луча в центр датчика, люксметр выдаёт максимальные показания. Следовательно, для проведения измерений следует стремиться, чтобы излучение попадало в центр датчика.

При проведении измерений на датчик всегда попадает естественный свет, которым освещено рабочее место. Для того, чтобы минимизировать воздействие внешнего освещения на датчик, используя чёрную изоленту, следует изготовить диафрагму: заклеить изолентой датчик по краям, оставив не заклеенной область в центре размерами примерно \(2 \times 2~см\).

A2. Соберём экспериментальную установку (рис. 3).

Рис. 3. Экспериментальная установка для определения показателей преломления воды и глицерина

В одной лапке штатива закрепим лазер, а в другой – люксметр. На основание штатива установим чашку Петри. На дно обеих половин чашки положим по кусочку картона. Наполним одну из них водой, а другую глицерином. Луч лазера направим на образец (воду или глицерин) таким образом, чтобы угол падения луча на поверхность жидкости был близок к нулю, но отражённый луч не попадал в корпус лазера. Об этом будет свидетельствовать световое пятно на потолке над установкой. Перемещая в пространстве датчик люксметра, поймаем отражённый от поверхности жидкости луч лазера. Снимем показания люксметра \(I_{отр}\). Далее немного отведём в сторону датчик люксметра так, чтобы луч не попадал на датчик и зафиксируем новые показания люксметра – фоновое значение \(F\), которое имеет место благодаря естественному освещению в аудитории. Следом подставим датчик непосредственно под луч лазера и определим поток излучения лазера \(I_0\). Снова немного отведём датчик в сторону и измерим фоновое значение \(F_0\) (так как при измерении значений \(I_{отр}\) и \(I_0\) датчик был ориентирован в пространстве по-разному, фоновые значения будут отличаться). Повторим измерения несколько раз. Результаты контрольных измерений приведены в таблице 2.

Коэффициент отражения рассчитаем по формуле:

\[R=\frac{I_{отр} -F}{I_{0}-F_{0}}\]Средние значения коэффициентов отражения:

Ответ:

\[R_{1}=0.0207 \pm 0.0007, \quad R_{2}=0.0352 \pm 0.0005\]

Вычислим показатели преломления. Для этого воспользуемся формулой Френеля (показатель преломления воздуха равен \(1\)):

\[n=\frac{1+\sqrt{R}}{1-\sqrt{R}}\]Показатели преломления воды \(n_{1}\) и глицерина \(n_{2}\) на основе проведенных измерений составят:

Ответ:

\[n_{1}=1.335 \pm 0.007, \quad n_{2}=1.462 \pm 0.004\]

A3. Так как поверхность пластинок имеет небольшую шероховатость, в стопке между пластинками всегда присутствуют прослойки воздуха. Отражение света происходит на каждой из границ. Для того, чтобы при прохождении света через стопку не происходило отражения света, требуется сделать так, чтобы показатель преломления вещества в промежутках между слоями совпадал с показателем преломления самих пластинок. На эту роль хорошо подходит глицерин, поскольку его показатель преломления более близок к характерным значениям показателей преломления пластиков, из которых может быть сделана линейка, чем показатель преломления воды или воздуха.

Тогда, если пренебречь отражением и поглощением света глицерином, заполняющим промежутки между пластинками (см. рис. 4), после прохождения света через \(k\) пластинок световой поток прошедшего света составит: \[I_{пр}=\left(1-R_{3}\right)^{2} T_{вн}^{k} I_{0}\] где \(R_{3}\) – коэффициент отражения от границы воздух-пластинка при нормальном падении лазерного луча.

Рис. 4. Прохождение света через стопку из полупрозрачных пластинок

Линеаризуем зависимость проходящего светового потока от числа слоев: \[\ln \frac{I_{пр}}{I_{0}}=k \ln T_{вн}+2 \ln \left(1-R_{3}\right)\] Определив значение углового коэффициента \(\ln T_{вн}\) графика этой зависимости, мы сможем вычислить коэффициент \(T_{вн}\).

Для проведения эксперимента соберём экспериментальную установку, изображённую на рис. 5. С помощью изоленты на основании штатива закрепим датчик люксметра. В стопке из пластинок каждый из слоёв отделён от предыдущего очень тонким слоем глицерина. Глицерин удобно наносить с помощью шприца.

Рис. 5. Экспериментальная установка для определения коэффициента внутреннего пропускания

Проведём измерения зависимости потока излучения, прошедшего через стопку пластинок, от числа слоёв. Вначале измерим фоновое значение \(F_{0}\) света в отсутствие пластинок и поток излучения от лазерной указки \(I_{0}\). Далее поместим пластинки на датчик люксметра и измерим поток излучения, прошедшего через стопку \(I_{пр}\) и фон \(F\). Следует отметить, что со временем лазер меняет свою яркость. Кроме того, изменяется фоновая освещённость. Учитывая это, для каждого числа слоёв \(k\) требуется провести измерения всех четырёх вышеуказанных величин. Причём интервал времени между измерениями величин \(I_{пр}\) и \(I_{0}\) желательно свести до минимума (измерять непосредственно друг за другом, последовательность не важна).

Для каждого \(k\) вычислим значение \(y=\ln \dfrac{I_{пр}-F}{I_{0}-F_{0}}\).

Далее построим график зависимости \(y(k)\).

График зависимости \(y\) от \(k\) для иглы

Угловой коэффициент наклона графика \(\alpha=\ln T_{вн}=-0.041 \pm 0.001\) используем для вычисления коэффициента внутреннего пропускания:

\[T_{вн}=e^{\alpha}=0.96\]

Ответ:

\[T_{вн}=0.96\]

A4. Перейдем к определению показателя преломления материала пластинок \(n_{3}\). С помощью изоленты закрепим на столе лист миллиметровки (рис. 6). Заклеим выходное окно лазерной указки малярным скотчем и сделаем иглой небольшое отверстие посередине луча. Таким образом, пятно от лазерной указки получится маленьким. Закрепим лазерную указку в канцелярском зажиме (чтобы можно было поддерживать лазер во включенном состоянии), а сам зажим - в лапке штатива. Штатив установим на лист миллиметровки таким образом, чтобы при повороте лазерной указки в вертикальной плоскости (изменении угла наклона лазерного луча) пятно перемещалось вдоль линий сетки на миллиметровке.

Сложим из пластинок стопку, «склеив» их между собой прослойкой из глицерина. Поскольку показатели преломления глицерина и пластиков, из которых могут быть изготовлены пластинки близки друг к другу по значению, то преломления на границах пластинка-глицерин практически не происходит, и лазерный луч проходит через стопку, лишь преломляясь на границе воздуха и пластинки. Также стоит отметить, что в стопке пластинок, склеенных глицерином, практически отсутствует рассеяние света на шероховатостях поверхностей пластинок. Из-за чего лазерный пучок доходит до миллиметровой бумаги узким, и становится возможным измерение смещения центра пятна на миллиметровке при прохождении пучка через стопку пластинок.

Рис. 6. Экспериментальная установка для определения показателя преломления материала пластинок.

Направим лазерную указку под произвольным углом, так чтобы пятно лазерного луча оказалось на миллиметровке. Отметим это положение как \(A\) (см. рис. 6). С помощью транспортира определим угол падения лазерного луча \(\alpha\). Теперь расположим на пути лазерного луча стопку из пластинок, высоту \(h\) которой измерим линейкой на транспортире. Проходя через границу воздух-пластинка, лазерный луч преломляется, и положение пятна смещается в новое положение \(B\). Определим длину, на которую сместилось пятно:\[\Delta l=A B.\] Из определения тангенсов углов \(\alpha\) и \(\beta\) несложно получить их связь: \[\operatorname{tg} \beta=\operatorname{tg} \alpha-\frac{\Delta l}{h}\] Из закона преломления следует выражение для показателя преломления материала пластинок: \[n=\frac{\sin \alpha}{\sin \beta}\]

Среднее значение показателя преломления материала пластинок составляет:

Ответ:

\[n_{3}=1.549 \pm 0.017\]

Замечание 1

Оценим, насколько изменится ответ в Задании 3 (коэффициент внутреннего пропускания), если принять во внимание отражения на границах пластинок и глицерина. При этом будем учитывать только однократные отражения. Тогда при прохождении света через стопку из \(k\) пластинок лазерный луч дополнительно ослабится в \(\left(1-R_{23}\right)^{2 k-1}\) раз, поскольку в стопке из \(k\) пластинок расположено \(2 k-1\) границ раздела пластинка–глицерин. Здесь \(R_{23}=\left(\dfrac{n_{2}-n_{3}}{n_{2}+n_{3}}\right)^{2} \approx 0.0008\) – коэффициент отражения на границе пластинка–глицерин.

Тогда выражение для интенсивности прошедшего через стопку излучения запишется в виде:

\[I_{np}=\left(1-R_{3}\right)^{2} T_{вн}^{k}\left(1-R_{23}\right)^{2 k-1} I_{0}\]

После приведения к линейному виду:

\[\ln \frac{I_{пр}}{I_{0}}=k \ln \left(\left(1-R_{23}\right)^{2} T_{вн}\right)+\ln \frac{\left(1-R_{3}\right)^{2}}{1-R_{23}}\]

Поскольку величина \(R_{23}\) малая, то \(\left(1-R_{23}\right)^{2} T_{вн} \approx\left(1-2 R_{23}\right) T_{вн}\). Таким образом, учет отражения от границ раздела пластинки и глицерина изменяет значение коэффициента внутреннего пропускания лишь на \(2 R_{23} \cdot 100 \%=0.16 \%\).

Заметим, что если вместо глицерина взять воду, то эта поправка составит \(2 R_{13} \cdot 100 \%=\) \(2\left(\dfrac{n_{1}-n_{3}}{n_{1}+n_{3}}\right)^{2} \cdot 100 \% \approx 1.16 \%\). Аналогично для воздуха: \(2\left(\dfrac{n_{3}-1}{n_{3}+1}\right)^{2} \cdot 100 \% \approx 9.3 \%\). Однако в этих случаях на измеренном значении проходящего светового потока сильнее будет сказываться рассеяние на шероховатостях пластинки.

Замечание 2

Значения световых потоков, измеренные участниками, могут отличаться от значений, представленных в таблицах с контрольными измерениями.

Источник: pho.rs/p/1930.