Вязкость воздуха

Решение

A1.

A2. Перед началом измерений продуем иголку шприцем с поршнем, чтобы убедиться, что внутри неё нет воды.

Соберем установку и измерим зависимость положения уровня воды в шприце от времени. Для этого будем измерять время перемещения уровня между рисками с помощью секундомера. Для каждого последующего измерения будем вынимать шприц из стакана и наполнять его воздухом. Повторим серии измерений для каждого объема \(V\) несколько раз и усредним значение времени \(t\):

Ответ:

A3. Выведем теоретическую формулу, описывающую измеренную зависимость. По мере заполнения цилиндра уровень воды в стакане практически не меняется, поэтому перепад давления на длине капилляра в момент, когда высота столба воздуха равна \(h\) (см. рис. 1), равен, очевидно, \(\Delta P=\rho_{воды} g h\), где \(\rho_{воды}\) – плотность воды. Тогда, в соответствии с формулой Пуазейля, для мгновенного расхода воздуха в момент времени \(t\) можно записать: \[Q=-\frac{S_{0} d h}{d t}=\frac{\pi \rho_{воды} g h r^{4}}{8 \eta l} \qquad(3)\] где \(S_{0}\) – площадь поперечного сечения шприца. После интегрирования в пределах от начального значения \(h_{0}=h(0)\) уровня воды в цилиндре до значения \(h\) в момент времени \(t\), получим закон изменения уровня воды в цилиндре с течением времени: \[\ln \frac{h_{0}}{h}=\ln \frac{V_{0}}{V}=\frac{\pi \rho_{воды} g r^{4}}{8 \eta l S_{0}} t \qquad(4)\] где \(V_{0}=20~мл\) – объем, соответствующий началу отсчета. Площадь сечения рассчитаем как отношение объема этой части шприца к ее высоте \(H=6.8~см\): \[S_{0}=\frac{V_{0}}{H} \qquad(5)\] Тогда окончательный вид искомой зависимости:\[\ln V=\ln V_{0}-\frac{\pi \rho_{воды} g r^{4} H}{8 \eta l V_{0}} t \qquad(6)\]

Ответ:

\[\ln V=\ln V_{0}-\frac{\pi \rho_{воды} g r^{4} H}{8 \eta l V_{0}} t\]

A4. Построим график измеренной зависимости в координатах \(\ln V\) от \(t\).

График зависимости \(\ln V\) от \(t\) для иглы

Заметим, что экспериментальные точки замечательно ложатся на прямую линию с модулем углового коэффициента:\[k_{1}=\frac{\pi \rho_{воды} g r_{иглы}^{4} H}{8 \eta_{воздух} l_{иглы} V_{0}}=(29.0 \pm 0.8) \cdot 10^{-3}~с^{-1} \qquad(7)\]

Ответ:

\[k_{1}=(29.0 \pm 0.8) \cdot 10^{-3}~с^{-1}\]

A5. Для определения вязкости воздуха проведем дополнительные измерения истечения газа из шприца, надев на иглу длинную трубку. Найдем угловой коэффициент зависимости логарифма объема воздуха в шприце от времени \(k_{2}=(17.0 \pm 0.6) \cdot 10^{-3}~с^{-1}\).

График зависимости \(\ln V\) от \(t\) для шприца с иглой и трубкой

Заметим, что закон Пуазейля схож с законом Ома. При течении вязкой жидкости по капилляру давление линейно падает с координатой, так же как и потенциал при протекании тока через проводник. В то время как разность давлений можно назвать напряжением, аналогом объемного расхода жидкости или газа будет являться сила тока. Так, введём гидродинамическое сопротивление капилляра.

По аналогии с электрическими цепями при последовательном соединении капилляров их гидродинамические сопротивления складываются. Величина гидродинамического сопротивления обратно пропорциональна угловым коэффициентам построенных графиков. Таким образом, величина углового коэффициента графика зависимости логарифма уровня воды в шприце от времени, соответствующая протеканию газа лишь через трубку, может быть рассчитана из коэффициентов аналогичных графиков измеренных ранее: \[\frac{1}{k}=\frac{1}{k_{2}}-\frac{1}{k_{1}} \qquad(8)\] где\[k=\frac{\pi \rho_{воды} g r_{трубки}^{4} H}{8 \eta_{воздух} l_{трубки} V_{0}} \qquad(9)\]Заметим, что эту величину измерить напрямую не удается, так как отсутствует возможность прямого (без использования иглы) и достаточно плотного соединения трубки с носиком шприца.

Измерим длину части трубки, но которой течет газ из шприца \(l_{трубки}=98.6 \pm 0.5~см\). Эта длина меньше длины трубки на величину длины иглы, на которую надета трубка.

Измерим также внутренний радиус трубки. Для этого подсоединим к ней шприц объемом \(1~мл\), наполненный заранее водой. Соединение между шприцем и трубкой обеспечим с помощью иглы. Закачаем в трубку небольшое количество воды, сделаем отметку на трубке и запомним деление, на котором остановился поршень шприца. Закачаем в трубку большую часть воды из шприца, и вновь измерим уровень воды в шприце, оставив отметку на трубке. Измерим расстояние между отметками \(L=92.3 \pm 0.1~см\) и объем воды, помещающийся в трубку между ними \(V_{1}=0.70 \pm 0.01~мл\). Тогда для радиуса трубки имеем:\[r_{трубки}=\sqrt{\frac{V_{1}}{\pi L}}=(0.491 \pm 0.004)~мм \qquad(10)\]Рассчитаем на основе полученных данных вязкость воздуха:

\[\eta_{воздух}=\frac{\pi \rho_{воды} g r_{трубки}^{4} H}{8 l_{трубки} V_{0}}\left(\frac{1}{k_{2}}-\frac{1}{k_{1}}\right)=(1.83 \pm 0.05) \cdot 10^{-5}~Па \cdot с\qquad(11)\]

Ответ:

\[\eta_{воздух}=(1.83 \pm 0.05) \cdot 10^{-5}~Па \cdot с\]

A6. Определим радиус иглы. Для этого достаточно найти отношение угловых коэффициентов исследованных графиков:

\[\frac{k_{1}}{k}=\frac{k_{1}-k_{2}}{k_{2}}=\frac{r_{иглы}^{4}}{r_{трубки}^{4}} \frac{l_{трубки}}{l_{иглы}} \qquad(12)\]Измерим длину иглы \(l_{иглы}=3.6~см\). Обратим внимание, что начало иглы видно внутри ее пластиковой части, если смотреть на нее на просвет. Тогда для радиуса иглы получаем:\[r_{иглы }=r_{трубки}\left(\frac{k_{1}-k_{2}}{k_{2}}\frac{l_{иглы}}{l_{трубки}}\right)^{1 / 4}=(0.197 \pm 0.07)~мм. \qquad(13)\]

Ответ:

\[r_{иглы }=(0.197 \pm 0.07)~мм\]

A7. Рассчитаем характерную скорость течения газа в первом эксперименте, как

\[v=\frac{Q_{ср}}{\pi r^{2}} \approx 2.5~м/с \qquad(14)\]Оценим значение плотности воздуха, используя уравнение состояния газа

\[p=\frac{\rho}{M} R \cdot T \qquad(15)\]где \(M\) – молярная масса, для воздуха равная \(M=29~г/моль\). Тогда значение плотности воздуха \(\rho=1.3~кг/м^{3}\). А число Рейнольдса можно оценить как:

\[\operatorname{Re}=\frac{\rho v r}{\eta}\approx 35\]

Ответ:

\[\operatorname{Re}\approx 35\]

Полученное значение \(Re\) много меньше критического, поэтому в данной работе течение газа можно считать ламинарным. Оцениваем характерное расстояние установления ламинарного течения:\[l_{пер}=0.2 r \cdot \operatorname{Re} \approx 1.4~мм \qquad(17)\]

Получаем, что \(l_{пер} / l_{иглы} \ll 1\), поэтому можно пренебречь длиной «переходных» отрезков системы.

Источник: pho.rs/p/4352.