Нагрев трением

Решение

1. Подключим мотор к источнику питания и подадим на него напряжение \(U=1.00 \ В\). Такого напряжения недостаточно для того, чтобы мотор вращался. Ток протекающий через мотор составляет \(I= 155 \ мА\). Рассчитаем сопротивление мотора как: \[R=\frac{U}{I}=6.45 \ Ом.\qquad(1) \tag{1}\] Измерим массу пустого стаканчика и массу стаканчика с глицерином. Масса глицерина при этом составила \(m=99.56 \ г\).

Ответ:

\[R=\frac{U}{I}=6.45 \ Ом\]

2. Начальная температура глицерина составляет \(T_0 = 21.7 ~^\circ \mathrm{C}\) и совпадает с комнатной температурой.

Ответ:

\[T_0 = 21.7 ~^\circ \mathrm{C}\]

3. Соберем далее установку, описанную в условии, и проведем измерения во время нагрева глицерина и во время его остывания. Напряжение на моторе в процессе нагревания было постоянным \(U=12.02~В\).

Данные нагрева.

Ответ:

Данные остывания.

Ответ:

4. Построим график зависимости температуры глицерина от времени на участке остывания. Определим угловой коэффициент графика \(k=2.81\cdot10^{-3} \ ^\circ\mathrm{C}/с\).

Ответ:

\[k=2.81\cdot10^{-3} \ ^\circ\mathrm{C}/с\]

Ответ:

5. Таким образом, если предполагать что во время всего эксперимента, мощность теплопотерь оставалась постоянной, то температура, которая установилась бы в сосуде в отсутствии теплопотерь, тогда бы составляла:\[T'=T+k\tau_н.\qquad(2)\tag{2}\] Более точный расчет можно осуществить на основе закона Ньютона–Рихмана. Однако, в рамках точности рассматриваемого эксперимента это может оказаться излишним.

Ответ:

\[T'=T+k\tau_н\]

6. Для каждого промежутка времени \(\Delta \tau_н\) найдем среднее значение силы тока, протекающего через двигатель, рассчитав полусумму значений вначале и в конце временного промежутка. Тогда общая электрическая мощность на этом временном интервале может быть рассчитана как: \[P=U_0 I_{ср}.\qquad(3) \tag{3}\] Тепловая мощность, выделяющаяся в обмотках мотора, составляет: \[P_{обмоток}=I_{ср}^2 R.\qquad(4) \tag{4}\] Тогда механическая мощность вала двигателя составляет: \[P_{тр}(\tau)=P-P_{обмоток}=I_{ср}(U_0-I_{ср}R).\qquad(5) \tag{5}\] Для расчета работы, идущей на размешивание, на каждом промежутке времени, необходимо рассчитанную мощность умножить на промежуток времени, в течение которого эта мощность подводилась. Для расчета полной работы необходимо сложить работы за предыдущие моменты времени: \[A_{i+1}=A_{i}+P(\tau)\cdot\Delta\tau_н\qquad(6) \tag{6}\]

Ответ:

7. Занесем итоговые расчеты в таблицу и построим соответствующий график.

Ответ:

8. Полученный график можно описать линейной функций с угловым коэффициентом \(k_С=3.86 \ ^\circ\mathrm{C}/кДж\). Глицерин нагревается за счет работы, совершенной над ним: \[A_{тр}=cm\Delta T'.\qquad(7) \tag{7}\] Таким образом, удельная теплоемкость глицерина может быть рассчитана как: \[c=(k_Сm)^{-1}=2.6 \ кДж/(кг\cdot ^\circ \mathrm{C})\qquad(8) \tag{8}\] Табличное значение при этом составляет \(c=2.5~кДж/(кг\cdot ^\circ \mathrm{C})\).

Ответ:

\[k_С=3.86 \ ^\circ\mathrm{C}/кДж\]\[c=2.6 \ кДж/(кг\cdot ^\circ \mathrm{C})\]

Дополнение

При аккуратных измерениях в данном эксперименте результат практически всегда получается завышенным по сравнению с табличным значением. Расхождение можно объяснить двумя эффектами.

Первый эффект связанн с допущением, что мощность теплопотерь постоянна, однако известно, что она зависит от разности температур. В рамках данной задачи этот эффект незначителен, учет изменения мощности изменил ответ бы ответ на \(5-10\%\).

Второй эффект заключается в преодолении момента сил трения внутри самого двигателя. Для учета этого эффекта необходимо определить мощность потерь на трение вала двигателя при вращении на рабочей частоте \(\omega_{раб}\) (момент трения зависит от частоты). Определить частоту напрямую достаточно сложно, поэтому можно воспользоваться свойствами двигателя, а именно зависимостями индукционного напряжения в катушках от частоты вращения \[\omega = \frac{\mathcal{E}_{инд}}{\alpha}=\frac{U_0-IR}{\alpha}\qquad(9) \tag{9}\] и момента сил, действующего на вал двигателя, от протекающего через него тока \[M=\alpha I,\qquad(10) \tag{10}\] где \(\alpha\) – константа, характеризующая электродвигатель.

Для поиска момента сил трения в самом двигателе \(M_{тр.\,двиг.}\) на рабочих оборотах сначала рассчитаем ЭДС индукции при погружении насадки для перемешивания в глицерин. Достанем электромотор из глицерина и запустим его, когда мешалка будет находиться в воздухе. Подберем подаваемое напряжение так, чтобы ЭДС индукции в этом случае получилась равной ЭДС индукции, возникающей в моторе при погружении мешалки в глицерин. Таким образом частоты вращения двигателя в двух случаях будут совпадать. Измерим силу тока \(I_{возд}\), потребляемую двигателем для совершения вращения в воздухе. В случае вращения мешалки в воздухе момент на валу двигателя будет определяться только силами трения в самом двигателе. Механическая мощность на рабочей частоте может быть рассчитана как: \[P_{тр}=M_{тр}\omega_{раб.}=\alpha I\omega.\qquad(11) \tag{11}\] А мощность, возникающая за счет сил трения в глицерине: \[P_{тр\, глицер.}=M_{тр.\,глиц.}\omega_{раб.}=(M_{тр}-M_{тр.\,двиг.})\omega_{раб.}=\alpha (I-I_{возд})\omega_{раб.}.\qquad(12) \tag{12}\] Тогда для связи мощности, нагревающей глицерин, и полной механической мощности мотора имеем: \[P_{тр\, глицер.}=P_{тр}\frac{I-I_{возд}}{I}.\qquad(13) \tag{13}\] В авторской установке величина силы тока \(I'\) составляет приблизительно \(\frac{5}{6}I\). Это в свою очередь вносит поправку в расчет мощности сил трения, возникающих при перемешивании в глицерине: \[P_{тр\, глицер.}\approx\frac{5}{6}P_{тр}.\] Учет этой поправки изменяет ответ примерно в \(5/6\) раза, приближая измеренное значение удельной теплоемкости к табличному.

Источник: pho.rs/p/4923.