Рассеивающая линза

Решение

1. Прикрепим с помощью зажима к линзе линейку. Закрепим рулетку на столе с помощью малярного скотча. Поставим линзу на расстоянии \(c=50 \ см\) от края рулетки и места, где в дальнейшем будем располагать наш глаз. Расположим за линзой на расстоянии \(a\) второй канцелярский зажим, предварительно измерив его высоту: \(x=(51\pm1) \text{ мм}\). Будем наблюдать за изображением зажима в линзе, расположив глаз на уровне края стола (рис. 1 – рис.2).

Рис. 1. Установка для наблюдения изображения зажима в линзе (вид сбоку)

Рис. 2. Установка для наблюдения изображения зажима в линзе (вид со стороны наблюдателя)

Измерим зависимость высоты \(z\), занимаемой изображением зажима на линейке, от расстояния \(a\) между зажимом и линзой (табл. 1).

Таблица 1. Измерения для расположения линзы вогнутой стороной к глазу

Положение изображения зажима связано с положением источника формулой тонкой линзы: \[\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=-|D|.\qquad(1) \tag{1}\] Размер изображения связан с размером источника как: \[y=x\frac{b}{a}.\qquad(2) \tag{2}\] Измеряемый линейкой размер изображения канцелярского зажима в линзе \(z\) связан с размером изображения как: \[z=y\frac{c}{c+b}.\qquad(3) \tag{3}\] Объединим формулы вместе: \[z=x\frac{b}{a}\frac{c}{c+b}=\frac{x}{a}\frac{1}{\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{b}}=\frac{x}{a}\frac{1}{\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}+|D|}.\qquad(4) \tag{4}\] И преобразуем к виду: \[\frac{x}{z}=1+a\left(\dfrac{1}{c}+|D|\right)\qquad(5) \tag{5}\] Видно, что в координатах \(\frac{x}{z}(a)\) зависимость описывается линейной функцией с угловым коэффициентом: \[k=\dfrac{1}{c}+|D|.\qquad(6) \tag{6}\] Заметим, что возможны и другие способы линеаризации. Оценим погрешность расстояния между линзой и зажимом как толщину линзы \({\sigma_a=0,5 \ см}\). Наблюдаемый размер изображения и размер источника имеют погрешность \({\sigma_{xz}=1 \ мм}\). Тогда погрешность величины отношения размеров можно рассчитать как: \[\sigma_{x/z}=\frac{x}{z}\sigma_{xz}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}\right).\qquad(7) \tag{7}\] Пересчитаем экспериментальные точки и построим соответствующий график. Проведем аппроксимирующие прямые с максимальным и минимальным угловыми коэффициентами через точку с координатой \((1;0 \ см)\), так как смещение графика в аппроксимирующей функции известно точно. Итого угловой коэффициент графика составит: \[k=\left(0.075\pm\frac{0.084-0.068}{2}\right)=(0.075\pm0.008) \ см^{-1}.\] Рассчитаем оптическую силу линзы: \[D_1=-\left(k-\frac{1}{c}\right)=-(5.5\pm1.0) \ дптр.\qquad(8) \tag{8}\] Погрешность расстояния между линзой и глазом оценим в \(\sigma_c=5 \ см\), как характерный размер глазного яблока. Тогда погрешность оптической силы рассчитаем как: \[\sigma_D=\sigma_k+\frac{1}{c}\frac{\sigma_c}{c}.\qquad(9) \tag{9}\]

Повторим эксперимент, располагая линзу выпуклой стороной к наблюдателю. Полученные значения внесем в таблицу (табл. 2). В этом эксперименте выберем расстояние от линзы до глаза равным \(c=60 \text{ см}\).

Таблица 2. Измерения для расположения линзы выпуклой стороной к глазу

Найдем значение оптической силы: \[k=\left(0.079\pm\frac{0.089-0.068}{2}\right)=(0.079\pm0.011) \ см^{-1}.\] Рассчитаем оптическую силу линзы: \[D_2=-\left(k-\frac{1}{c}\right)=-(6.3\pm1.2) \ дптр.\qquad(10) \tag{10}\] В пределах погрешности проводимого эксперимента достоверно сравнить \(D_1\) и \(D_2\) не представляется возможным. Однако чаще всего модуль оптической силы \(D_2\) оказывается большим модуля оптической силы \(D_1\). Этот эффект связан с самим способом измерений. Дело в том, что лучи, идущие от краев источника и попадающие в глаз, проходят достаточно далеко от центра линзы. В этих областях имеют место аберрации, зависящие от направления хода лучей через линзу. Поэтому результат нахождения оптической силы, выполненный авторским методом, может отклоняться от номинальной оптической силы, рассчитанной в параксиальном приближении.

Ответ:

\[D_1=-(5.5\pm1.0) \ дптр\]\[D_2=-(6.3\pm1.2) \ дптр\]

Примечание

Однако, при более детальном рассмотрении хода лучей через реальную линзу (рис. 3) имеющую некоторую толщину, можно заметить, что фокусное расстояние для приосевых пучков лучей совпадает. Проводимые в задаче измерения размеров «изображения» на поверхности линзы, связаны с определением положения границ изображения предмета, размеры которого сопоставимы с размерами линзы. Наблюдение этих границ проводится в области, где проявляется влияние толщины линзы на ход лучей - линзу в данных областях уже нельзя считать тонкой. В связи с этим измеренное значение \(D_2\) оказывается заведомо завышенным.

Рисунок носит иллюстративный характер, толщина линзы в центре несколько преувеличена.

Рис. 3. Сравнение продолжения хода лучей для двух положений линзы

Источник: pho.rs/p/4919.