Задачи › Уравнение Бернулли, истечение жидкости

Истечение из шприца

  1. Истечение из шприца

    Санкт-Петербургская 2020/21, 10 кл.
    5/10

    Известно, что время истечения жидкости из отверстия в цилиндрическом сосуде зависит от характерных параметров как \[t = k\,S^{\alpha}\,S_0^{\beta}\left(H^{\gamma} - H_0^{\gamma}\right),\] где \(S\) — площадь отверстия, \(S_0\) — площадь сечения цилиндра, \(H\) — высота столба жидкости, \(H_0\) — длина носика шприца, \(k, \alpha, \beta, \gamma\) — постоянные коэффициенты, причём \(\alpha\), \(\beta\) и \(\gamma\) принимают безразмерные рациональные значения.

    1. Исследуйте, как зависит время истечения воды из сосуда от высоты столба жидкости.

    2. Исследуйте, как зависит время истечения воды из сосуда от площади сечения отверстия.

    3. Определите параметры \(k\), \(\alpha\), \(\beta\) и \(\gamma\).

    Оборудование: шприц 150 мл, шприц 2 мл, секундомер, скотч, миллиметровая бумага.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Если время истечения пропорционально \(\sqrt{H}\), то \(\gamma = 1/2\). Сравните время при закрытой половине отверстия с временем без закрытия, чтобы найти показатель при \(S\), и сравните результаты с ожидаемым теоретическим значением \(k\).

    Ответ

    \(\alpha = -1\), \(\beta = 1\), \(\gamma = \dfrac{1}{2}\), \(k = \sqrt{\dfrac{2}{g}} \approx 0{,}452\) с/м\(^{0{,}5}\).

    Решение

    Для нахождения зависимости от \(H\) измеряют время истечения при нескольких высотах столба жидкости и строят график \(t\) от \(\sqrt{H}\): получается прямая линия, что соответствует \(\gamma = 1/2\) .

    Чтобы найти \(\alpha\), закрывают скотчем половину отверстия шприца: время истечения удваивается. Это даёт \(\alpha = -1\) (время обратно пропорционально площади отверстия). Чтобы найти \(\beta\), сопоставляют время истечения из двух шприцов с разными отношениями площадей отверстия и цилиндра: \(\beta = 1\).

    Итоговая формула \[t = k\frac{S_0}{S}\left(\sqrt{H} - \sqrt{H_0}\right).\] Угловой коэффициент прямой \(t\) от \(\sqrt{H}\) даёт \(k\); для идеальной жидкости в сосуде с \(R \ll R_0\) теоретически \(k = \sqrt{2/g} \approx 0{,}452\) с/м\(^{0{,}5}\). Измеренное значение сравнивается с ним; погрешность оценивается по разбросу повторных измерений.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх