Задачи › Сила трения: покой и проскальзывание

Ползущая полоска

  1. Ползущая полоска

    ВсОШ 2020/21, 10 кл.
    6/10

    При использовании специальной технологии обработки полимерных материалов можно добиться анизотропии свойств их поверхности. Например, движение полоски из полиэтилена по горизонтальной поверхности стола в направлении \(AB\) (на рис. 1 вправо) характеризуется коэффициентом трения \(\mu_1\), а движение в направлении \(BA\) — коэффициентом трения \(\mu_2 < \mu_1\). Если подвергнуть лежащую на столе полоску длины \(l\) циклическому нагреванию-охлаждению, то можно заметить, что полоска перемещается по поверхности стола.

    Рисунок

    1. В каком направлении (\(AB\) или \(BA\)) сместится полоска при большом количестве циклов?

    2. На какое расстояние переместится полоска за \(N\) циклов нагревания-охлаждения, если разность максимальной и минимальной температур в цикле равна \(\Delta T\)? Ответ запишите в виде формулы.

    3. Вычислите, на какое расстояние переместится полоска длины \(l = 20\text{ см}\) за \(N = 100\) циклов нагрева-охлаждения при изменении ее температуры на \(\Delta T = 80\,^\circ\text{C}\). Значения коэффициентов трения \(\mu_1 = 0{,}15\), \(\mu_2 = 0{,}05\).

    Считайте, что при изменении температуры полиэтилена на \(\Delta T\) его длина изменяется на величину \(\Delta l = \alpha l\,\Delta T\), где \(l\) — длина полоски при комнатной температуре, \(\alpha = 2\cdot10^{-4}\,{}^\circ\text{C}^{-1}\) — коэффициент температурного расширения полиэтилена. Полоска имеет постоянную толщину, не изгибается и прижимается к столу равномерно всей поверхностью. Нагревание и охлаждение происходят медленно.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Найдите точку полоски, в которой сила трения со стороны стола при нагреве обращается в ноль: суммарные силы трения, действующие на левую и правую части, должны уравновеситься.

    Ответ

    1) влево;  2) \(\Delta X = N\,\dfrac{\mu_1-\mu_2}{\mu_1+\mu_2}\,l\,\alpha\,\Delta T\);  3) \(\Delta X = 16\text{ см}\).

    Решение

    При нагреве различные участки полоски движутся относительно стола в противоположных направлениях. Существует точка, неподвижная относительно стола: её положение определяется равенством сил трения, действующих на полоску справа и слева. Пусть расстояние от этой точки до левого конца полоски при нагреве равно \(x_1\), при охлаждении — \(x_2\).

    Рисунок

    При нагреве \(\mu_1 m\dfrac{l-x_1}{l}g = \mu_2 m\dfrac{x_1}{l}g\), откуда \(x_1 = \dfrac{\mu_1}{\mu_1+\mu_2}\,l\). Левый край полоски сместится при нагреве влево на \(x' = x_1\alpha\Delta T\).

    При охлаждении аналогично \(\mu_1 m\dfrac{x_2}{l}g = \mu_2 m\dfrac{l-x_2}{l}g\), откуда \(x_2 = \dfrac{\mu_2}{\mu_1+\mu_2}\,l\), и левый край смещается при охлаждении вправо на \(x'' = x_2\alpha\Delta T\).

    За один цикл левый край и вся полоска смещаются влево на \[\Delta x = x' - x'' = \frac{\mu_1-\mu_2}{\mu_1+\mu_2}\,l\,\alpha\,\Delta T > 0 .\] Так как \(\mu_2 < \mu_1\), полоска смещается влево. За \(N\) циклов смещение \(\Delta X = N\,\Delta x\). Подстановка \(l = 0{,}20\) м, \(\alpha\Delta T = 0{,}016\), \(\mu_1 = 0{,}15\), \(\mu_2 = 0{,}05\), \(N = 100\) даёт \(\Delta X = 0{,}16\) м \(= 16\) см.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх