Бесконечный тонкостенный диэлектрический цилиндр радиуса \(R\) разбили вдоль оси вращения на равные «четвертинки». Две противолежащие четвертинки зарядили равномерно с поверхностной плотностью заряда \(\sigma > 0\), а другие две оставили незаряженными. Найдите векторы напряжённости электрического поля цилиндра в точках, близких к его центру и имеющих координаты \((x; 0)\) и \((0; y)\). Считайте \(x, y \ll R\). Координатные оси \(OX\) и \(OY\) направлены вдоль биссектрис прямых углов (рис. 4).

В точке \((x;0)\): \(E_x = -\dfrac{\sigma x}{\pi R\varepsilon_0}\), \(E_y = 0\) (поле направлено к оси цилиндра); в точке \((0;y)\): \(E_y = \dfrac{\sigma y}{\pi R\varepsilon_0}\), \(E_x = 0\) (поле направлено от оси цилиндра).

Частично заряженный цилиндр — ВсОШ 2020/21, 10 кл., задача 4

Частично заряженный цилиндр
ВсОШ 2020/21, 10 кл.
5/10
Бесконечный тонкостенный диэлектрический цилиндр радиуса \(R\) разбили вдоль оси вращения на равные «четвертинки». Две противолежащие четвертинки зарядили равномерно с поверхностной плотностью заряда \(\sigma > 0\), а другие две оставили незаряженными. Найдите векторы напряжённости электрического поля цилиндра в точках, близких к его центру и имеющих координаты \((x; 0)\) и \((0; y)\). Считайте \(x, y \ll R\). Координатные оси \(OX\) и \(OY\) направлены вдоль биссектрис прямых углов (рис. 4).

▶Показать разборСкрыть разбор
Подсказка
Поле бесконечно длинной заряженной нити на расстоянии \(r\) равно \(\lambda/(2\pi\varepsilon_0 r)\). Разбейте заряженную часть на тонкие полоски и воспользуйтесь принципом суперпозиции: равномерно заряженный цилиндр создаёт внутри нулевое поле.
Ответ
В точке \((x;0)\): \(E_x = -\dfrac{\sigma x}{\pi R\varepsilon_0}\), \(E_y = 0\) (поле направлено к оси цилиндра); в точке \((0;y)\): \(E_y = \dfrac{\sigma y}{\pi R\varepsilon_0}\), \(E_x = 0\) (поле направлено от оси цилиндра).
Решение
Поле нити с линейной плотностью \(\lambda\) на расстоянии \(r\) равно \(E = \dfrac{\lambda}{2\pi r\varepsilon_0}\) (по теореме Гаусса). Поле цилиндра в точке \((x;0)\) найдём, выделив две симметричные полоски шириной \(dS\) на заряженных четвертинках (рис.). Из подобия треугольников их заряды \(\sigma\,dL_1\) и \(\sigma\,dL_2\) создают противоположно направленные поля, которые компенсируются в направлении \(OY\).

Полоски шириной \(dS = x\sqrt{2}\) каждая создаёт поле \(E_0 = \dfrac{\sigma x\sqrt{2}}{2\pi R\varepsilon_0}\) в направлении, перпендикулярном их диагонали. Поля двух полосок в направлении \(OY\) компенсируются, а проекция на ось \(OX\) равна \(E_x = -\dfrac{\sigma x}{\pi R\varepsilon_0}\): результирующее поле направлено к оси цилиндра.

Для точки \((0;y)\) представим исходный цилиндр как суперпозицию полностью заряженного цилиндра с поверхностной плотностью \(+\sigma\) и двух четвертинок с поверхностной плотностью \(-\sigma\) (рис.). Равномерно заряженный цилиндр в точках, близких к центру, создаёт нулевое поле. Поле двух отрицательно заряженных четвертинок аналогично найденному выше и даёт \(E_{1y} = \dfrac{\sigma y}{\pi R\varepsilon_0}\), \(E_{1x} = 0\). По принципу суперпозиции \(E_y = \dfrac{\sigma y}{\pi R\varepsilon_0}\), \(E_x = 0\); поле направлено от оси цилиндра.

Вся олимпиада на сайте
в вариантСтраница задачи Ошибка в задаче?

Частично заряженный цилиндр

Частично заряженный цилиндр

Похожие задачи