Пластина с шайбой

Для части 1 удобно выразить поле элемента стержня через угол, под которым он виден из точки \(A\). Для части 2 при \(r \ll L\) поле пластины линейно по \(r\).

Часть 1. Элемент стержня, видимый из \(A\) под углом \(d\theta\), имеет длину \(dl = \dfrac{r\,d\theta}{\cos\theta}\), где \(r = \dfrac{h}{\cos\theta}\) — расстояние до точки \(A\). Его поле \(dE = \dfrac{\lambda\,dl\cos\theta}{4\pi\varepsilon_0 r^2} = \dfrac{\lambda\cos\theta\,d\theta}{4\pi\varepsilon_0 h}\). Интегрируя по \(\theta\) от \(-\varphi\) до \(\varphi\), получаем \(E = \dfrac{\lambda\sin\varphi}{2\pi\varepsilon_0 h}\).

Часть 2. При \(r \ll L\) поле квадрата заменяем полем двух тонких полосок (оставшаяся часть квадрата по симметрии не даёт составляющей поля в плоскости пластины в точке \(A\)). Полоски имеют линейные плотности \(\lambda_1 = 2r\sigma\sin\alpha\) и \(\lambda_2 = 2r\sigma\cos\alpha\). Каждая создаёт поле \(E_{1,2} = \dfrac{\lambda_{1,2}}{\sqrt{2}\,\pi\varepsilon_0 L}\), перпендикулярное своему стержню; эти поля взаимно перпендикулярны. Суммарное поле \[E = \frac{\sqrt{\lambda_1^2+\lambda_2^2}}{\sqrt2\,\pi\varepsilon_0 L} = \frac{\sqrt2\,r\sigma}{\pi\varepsilon_0 L}\] направлено от центра пластины, т.е. для \(q < 0\) сила и ускорение направлены к \(O\).

Ускорение \(|a| = \dfrac{|q|E}{m} = \dfrac{\sqrt2\,r\sigma|q|}{\pi\varepsilon_0 mL}\) пропорционально смещению \(r\), т.е. движение гармоническое вдоль \(AO\) с коэффициентом \(k = \dfrac{\sqrt{2}\sigma|q|}{\pi\varepsilon_0 L}\) и периодом \(T = 2\pi\sqrt{m/k} = \sqrt{\dfrac{2\sqrt2\,\pi^3\varepsilon_0 mL}{\sigma|q|}}\). Шайба, отпущенная без скорости, впервые окажется в центре через \(T/4\).