Задачи › Сверхпроводники, сохранение потока

Виток в витке

  1. Виток в витке

    ВсОШ 2020/21, 11 кл.
    6/10

    Индуктивность кольца радиуса \(R\), сделанного из тонкой проволоки, равна \(L\).

    1. Найдите индуктивность проволочного кольца, у которого все геометрические размеры в 2 раза больше.

    Если в плоскости кольца радиуса \(R\) поместить сверхпроводящее колечко с вдвое меньшими геометрическими размерами так, чтобы плоскости колец и их центры совпадали (рис. 3), то индуктивность кольца радиуса \(R\) оказывается равной \(L_1\).

    Рисунок

    1. Какой станет индуктивность кольца \(L_2\) радиуса \(R\) при помещении его внутрь сверхпроводящего кольца со вдвое большими геометрическими размерами? Плоскости и центры колец во втором случае также совпадают.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Ответ

    1) \(2L\);  2) \(L_2 = L_1\).

    Решение

    Индуктивность кольца пропорциональна его размеру: при уменьшении размеров в 2 раза индукция в каждой точке растёт в 2 раза, а площадь падает в 4 раза, поэтому магнитный поток через плоскость кольца пропорционален радиусу, и индуктивность кольца \(2R\) равна \(2L\).

    Пусть \(M\) — взаимная индуктивность колец радиусов \(R\) и \(R/2\). По подобию взаимная индуктивность колец \(R\) и \(2R\) равна \(2M\), а индуктивности колец \(R/2\) и \(2R\) равны \(L/2\) и \(2L\) соответственно.

    В первом случае поток через сверхпроводящее колечко равен нулю: \(MI + \dfrac{L}{2}I_1 = 0\), откуда \(I_1 = -\dfrac{2M}{L}I\). Поток через кольцо радиуса \(R\): \(L_1 = L - \dfrac{2M^2}{L}\).

    Во втором случае \(2MI + 2LI_2 = 0\), т.е. \(I_2 = -\dfrac{M}{L}I\), и \(L_2 = L - \dfrac{2M^2}{L} = L_1\).

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх