Задачи › Движение газа, истечение

Газовая батарея

  1. Газовая батарея

    ВсОШ 2020/21, 10 кл.
    6/10

    На вход гладкой прямолинейной трубы постоянного сечения \(S\), ось которой горизонтальна, поступает идеальный многоатомный газ, движущийся со скоростью \(v_1\). Давление газа на входе в трубу равно \(P_1\), плотность — \(\rho_1\). Давление газа на выходе из трубы равно \(P_2 = P_1 + \Delta P\). Определите:

    1. плотность \(\rho_2\) и скорость \(v_2\) газа на выходе из трубы;

    2. отношение температур газа \(T_2/T_1\) на выходе и на входе в трубу соответственно;

    3. тепловую мощность \(N\), выделяемую трубой в окружающую среду.

    Считайте, что в любом сечении трубы плотность и давление газа постоянны и не зависят от времени. Вязким трением можно пренебречь.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Ответ

    1) \(\rho_2 = \dfrac{\rho_1^2 v_1^2}{\rho_1 v_1^2 - \Delta P}\),  \(v_2 = v_1 - \dfrac{\Delta P}{\rho_1 v_1}\);  2) \(\dfrac{T_2}{T_1} = \left(1+\dfrac{\Delta P}{P_1}\right)\left(1-\dfrac{\Delta P}{\rho_1 v_1^2}\right)\);  3) \(N = \rho_1 S v_1\left[\dfrac{v_1^2}{2}\left(1-\left(1-\dfrac{\Delta P}{\rho_1 v_1^2}\right)^2\right) + \dfrac{4P_1}{\rho_1}\left(1-\left(1+\dfrac{\Delta P}{P_1}\right)\left(1-\dfrac{\Delta P}{\rho_1 v_1^2}\right)\right)\right]\).

    Решение

    Поскольку система стационарна, масса газа в трубе постоянна. Массовый расход \(\mu = \rho_1 S v_1 = \rho_2 S v_2\).

    Изменение импульса газа в трубе за время \(dt\) равно \(dp_x = (P_1 - P_2)S\,dt\) и одновременно \(dp_x = \mu(v_2 - v_1)\,dt\). Отсюда \(v_2 = v_1 - \dfrac{\Delta P}{\rho_1 v_1}\), а из \(\mu = \rho_2 S v_2\) получаем \(\rho_2 = \dfrac{\rho_1^2 v_1^2}{\rho_1 v_1^2 - \Delta P}\).

    Из уравнения состояния идеального газа для порций газа на входе и на выходе \[\frac{T_2}{T_1} = \frac{P_2\rho_1}{P_1\rho_2} = \frac{P_2 v_2}{P_1 v_1} = \left(1+\frac{\Delta P}{P_1}\right)\left(1-\frac{\Delta P}{\rho_1 v_1^2}\right).\]

    Закон сохранения энергии для стационарного потока (с учётом работы сил давления и энтальпии \(C_P T/M\)) даёт тепловую мощность \[N = \mu\left[\frac{v_1^2-v_2^2}{2} + \frac{C_P}{M}(T_1-T_2)\right].\] Для многоатомного газа \(C_P = 4R\), поэтому \(\dfrac{C_P}{M}T = \dfrac{4P}{\rho}\). Подставляя \(v_2\) и \(T_2/T_1\), получаем ответ из блока выше.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх