Задачи › Законы Ньютона, силы

Разлетающиеся зонды

  1. Разлетающиеся зонды

    ВсОШ 2020/21, 10 кл.
    7/10

    Два автономных исследовательских зонда движутся навстречу друг другу с выключенными двигателями в глубоком космосе вдали от других тел курсами, пересекающимися под прямым углом. Масса первого зонда равна \(m_1 = m\), а его скорость \(v_1 = v\). Масса второго зонда \(m_2 = 4m\), а скорость \(v_2 = v/3\). В момент времени, когда расстояние между зондами становится равным \(L\), а расстояние от первого зонда до точки пересечения траекторий — \(x\), на обоих зондах включаются двигатели с постоянной по модулю силой тяги \(F\), при этом вектор силы тяги в любой момент времени направлен противоположно направлению на другой зонд. Рисунок приведён для момента включения двигателей. Двигатели выключаются, когда расстояние между зондами становится равным \(2L\). Размеры зондов малы по сравнению с \(L\), а их гравитационным взаимодействием можно пренебречь.

    Рисунок

    1. При каком значении \(x = x_{\text{кр}}\) произошло бы столкновение зондов, если бы двигатели на них не включались?

    2. Найдите минимальное значение силы тяги \(F_{\text{мин}}\), при котором зонды не столкнутся, если \(x = x_{\text{кр}}\).

    3. Пусть величины сил тяги двигателей равны \(F = F_{\text{мин}} + dF\) (\(dF \ll F_{\text{мин}}\)), а \(x = x_{\text{кр}}\). Найдите вектор конечной скорости первого зонда в виде \(\alpha\vec v_1 + \beta\vec v_2\).

    4. Пусть сила тяги двигателей равна \(F\), а \(x = x_1\) (\(x_1 > x_{\text{кр}}\)). Найдите модуль конечной скорости первого зонда относительно второго.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Перейдите в систему отсчёта, связанную с первым зондом, и запишите закон изменения кинетической энергии второго зонда. Затем выделите систему центра масс: внешних сил на систему двух зондов нет.

    Ответ

    1) \(x_{\text{кр}} = \dfrac{3L}{\sqrt{10}}\);  2) \(F_{\text{мин}} = \dfrac{4mv^2}{9L}\);  3) \(\vec v_{1к} = \dfrac{1-4\sqrt{2}}{5}\,\vec v_1 + \dfrac{4(1+\sqrt{2})}{5}\,\vec v_2\);  4) \(v_{\text{отн}} = \sqrt{\dfrac{10v^2}{9} + \dfrac{5FL}{2m}}\).

    Решение

    1) Без двигателей зонды встретятся в точке пересечения траекторий, если время их движения до этой точки совпадает: \(\dfrac{x}{v} = \dfrac{3\sqrt{L^2-x^2}}{v}\), откуда \(x_{\text{кр}} = \dfrac{3L}{\sqrt{10}}\).

    2) При \(x = x_{\text{кр}}\) относительная скорость \(\vec v_{\text{отн}0} = \vec v_2 - \vec v_1\) направлена вдоль линии, соединяющей зонды, и силы тяги сохраняют направление. В системе первого зонда на второй действуют сила тяги и сила инерции \(\vec F_{\text{и}} = -m_2\vec F/m_1\). Закон изменения кинетической энергии относительного движения: \[\frac{m_2 v_{\text{отн}}^2}{2} - \frac{m_2 v_{\text{отн}0}^2}{2} = -F\left(1+\frac{m_2}{m_1}\right)(L-S).\] Минимальная сила соответствует нулевой относительной скорости при \(S=0\): \[F_{\text{мин}} = \frac{m_1 m_2}{m_1+m_2}\cdot\frac{v_{\text{отн}0}^2}{2L} = \frac{4mv^2}{9L}, \qquad v_{\text{отн}0}^2 = \frac{10v^2}{9}.\]

    3) Внешних сил нет, поэтому скорость центра масс \(\vec v_C = \dfrac{\vec v_1 + 4\vec v_2}{5}\) постоянна. При \(F = F_{\text{мин}}\) к моменту \(S = 2L\) модуль относительной скорости равен \(\sqrt{2}\,v_{\text{отн}0}\), а направление меняется на противоположное: \(\vec v_{\text{отн}} = -\sqrt{2}\,\vec v_{\text{отн}0}\). Скорость первого зонда относительно центра масс \(\vec v_{1\,\text{отн}C} = -\dfrac{4}{5}\vec v_{\text{отн}} = \dfrac{4\sqrt{2}}{5}\,(\vec v_2 - \vec v_1)\). Тогда \[\vec v_{1к} = \vec v_C + \vec v_{1\,\text{отн}C} = \frac{1-4\sqrt{2}}{5}\,\vec v_1 + \frac{4(1+\sqrt{2})}{5}\,\vec v_2 .\]

    4) При \(x_1 > x_{\text{кр}}\) относительное движение перестаёт быть прямолинейным, но работа сил тяги и инерции на пути от \(S = L\) до \(S = 2L\) не зависит от формы траектории: \[\frac{m_2}{2}\left(v_{\text{отн}}^2 - v_{\text{отн}0}^2\right) = FL\,\frac{m_1+m_2}{m_1},\] откуда \(v_{\text{отн}}^2 = \dfrac{10v^2}{9} + \dfrac{5FL}{2m}\).

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх