Пьезопластинка

IEPhO 2021/22, 11 кл.

7/10

В задаче не требуется оценка погрешностей!

Обратным пьезоэффектом называют деформацию тел под действием электрического поля. Объектом вашего исследования будет являться пьезоэлемент (рис. 1). Электрический компонент состоит из проводящей металлической подложки, к которой приклеена пластинка из материала, обладающего пьезоэлектрическими свойствами. На верхнюю сторону пластинки напылено проводящее покрытие. К подложке и верхнему проводящему слою припаяны провода. Можно сказать, что полученный пьезоэлемент представляет из себя плоский конденсатор, разделителем обкладок которого является пьезоэлектрическая пластина. При подаче напряжения на такой конденсатор пластинка, а вместе с ней и подложка, меняет свою геометрическую форму. Амплитуда изменения формы пластинки зависит как от величины напряжения, так и от частоты его изменения. Так при подаче переменного напряжения на частотах, совпадающих с частотами различных мод колебаний пьезоэлемента, может возникнуть явление резонанса (пластинка будет колебаться с большой амплитудой).

Рис. 1. Пьезоэлемент

Исследуемый элемент является достаточно хрупким, поэтому он помещен в пробирку. Не вынимайте элемент из пробирки в течение эксперимента.

Часть A. АЧХ

A1. Подключите последовательно соединенные резистор и пьезоэлемент к генератору сигналов. Установите на генераторе сигнал синусоидальной формы амплитудой \(3~В\). Измерьте зависимость удвоенной амплитуды напряжения на резисторе (\(V_{pp}\)) от частоты сигнала в диапазоне от \(3\) до \(30~кГц\). Нанесите полученную зависимость на график.

A2. Предположите теоретически, какой функцией может быть описана измеренная зависимость, если рассматривать элемент как конденсатор с постоянной емкостью. В своих теоретических выкладках считайте сопротивление резистора много меньшим модуля импеданса пластинки (\(R\ll {1}/{2 \pi f C}\)).

A3. Укажите, опираясь на полученный в пункте A1 график, в каком диапазоне частот пьезоэлемент ведет себя как конденсатор. Определите его емкость.

A4. Кратко опишите основные особенности графика в остальном диапазоне частот. Укажите частоты локальных экстремумов.

Часть 2. Закон Кюри-Вейса

На частотах, далеких от резонансных, пьезоэлемент можно считать плоским конденсатором, емкость которого пропорциональна диэлектрической проницаемости пьезоэлектрического материала. В отличие от большинства диэлектриков, диэлектрическая проницаемость пьезоэлектриков зависит от температуры. Эта зависимость может быть описана законом Кюри-Вейса:

\[\varepsilon=\begin{cases}1+\frac{A}{T-T_c} & \text{при}\ T > T_c \\1+\frac{B}{T_c-T} & \text{при}\ T < T_c \qquad(1) \end{cases}\]Здесь \(T\) – температура пьезоэлектрика, \(A\) и \(B\) – не зависящие от температуры константы, \(T_c\) – температура, при которой пьезоэлектрик испытывает фазовый переход. Эта температура носит название температуры Кюри. Также известно, что для исследуемой керамики \(\varepsilon\gg 1\), поэтому можно записать закон Кюри-Вейса в виде:

\[\varepsilon=\begin{cases}\frac{A}{T-T_c} & \text{при}\ T > T_c \\\frac{B}{T_c-T} & \text{при}\ T < T_c \qquad(2) \end{cases}\]

A5. Считая пьезоэлемент конденсатором, измерьте зависимость его емкости на частоте \(30~кГц\) от температуры. Постройте график исследуемой зависимости в координатах, в которых она является линейной функцией в соответствии законом Кюри-Вейса. Определите температуру Кюри исследуемого пьезоэлектрика.

Измерения в данном упражнении могут занять более 40 минут. Заранее подумайте о распределении времени при выполнении задачи.

Оборудование

Осциллограф-генератор
Пьезоэлемент
Помещенный в пробирку
Термометр (чувствительный элемент термометра находится на его конце)
Резистор сопротивлением \(100~Ом\)
Стакан
Горячая вода по требованию
Соединительный провод

▶Показать разборСкрыть разбор

Ответ

A4: В диапазоне частот от \(3~ кГц\) до \(10~ кГц\) на графике наблюдаются два последовательных пика, соответствующие резонансам. Больший резонанс соответствует частоте \(f_{\max1} = 6.45~кГц\), малый резонанс соответствует частоте \(f_{\max2} = 7.55~ кГц\).

Решение

A1. Соберем электрическую, цепь изображенную на рисунке 1.

Рис. 1. Пьезопластинка

Установим на генераторе сигнал амплитудой \(U_0 = 3000~мВ\). Измерим зависимость напряжения на резисторе в зависимости от частоты подаваемого сигнала. Обратим особое внимание на поведение исследуемой зависимости в диапазоне частот от \(6\) до \(10~кГц\).

Ответ:

\(f, ~кГц\)	\(u,~ мВ\)	\(f, ~кГц\)	\(u,~ мВ\)	\(f,~ кГц\)	\(u,~ мВ\)	\(f, ~кГц\)	\(u,~ мВ\)
3.00	84	6.60	480	7.45	186	12.00	216
4.00	106	6.65	332	7.50	268	13.00	240
5.00	134	6.70	224	7.60	135	14.00	254
6.00	178	6.80	104	7.70	90	15.00	272
6.10	192	6.90	72	7.80	96	18.00	332
6.20	216	7.00	32	7.90	108	21.00	384
6.30	324	7.10	58	8.00	110	24.00	432
6.40	420	7.20	76	9.00	152	27.00	484
6.45	588	7.30	113	10.00	172	30.00	532
6.50	612	7.40	140	11.00	198	\(-\)	\(-\)

График зависимости напряжения на резисторе от частоты подаваемого на цепь сигнала.

Ответ:

График зависимости напряжения на резисторе от частоты подаваемого на цепь сигнала в области частот от \(3~кГц\) до \(10~кГц\).

Ответ:

A2. Исходя из предположения, что пьезоэлемент ведет себя, как конденсатор постоянной емкости (на частотах выше \(16~кГц\)), запишем выражение для модуля импеданса последовательно соединенного резистора \(R\) и конденсатора \(C\).\[Z=\sqrt{R^2+\Big(\frac{1}{2 \pi f C}\Big)^2}.\qquad(3)\tag{1}\]Так как при измеряемых частотах модуль импеданса пьезоэлемента много больше сопротивления резистора, можно написать выражение для напряжения на резисторе на частоте \(f\) в виде:

Ответ:

\[U=U_0 \cdot \frac{R}{\sqrt{R^2+\Big(\frac{1}{2 \pi f C}\Big)^2}} = U_0 \cdot 2 \pi f R C . \qquad(4)\tag{2}\]

A3. В диапазоне от \(10~ кГц\) до \(30~кГц\) график хорошо описывается линейной функцией, проходящей через ноль, с угловым коэффициентом наклона \(k = 17.6 \cdot 10^{-6}~В/Гц\).

Тогда для емкости \(C\) получаем:

Ответ:

\[C = \dfrac{k}{2 \pi R U_0} = 9.3 \ \text{нФ}. \qquad(5)\tag{3}\]

A4. Ответ:

В диапазоне частот от \(3~ кГц\) до \(10~ кГц\) на графике наблюдаются два последовательных пика, соответствующие резонансам. Больший резонанс соответствует частоте \(f_{\max1} = 6.45~кГц\), малый резонанс соответствует частоте \(f_{\max2} = 7.55~ кГц\).

A5. Нальем в стакан горячую воду. Подключим пьезоэлемент в схему на рис. 2 и погрузим пробирку, в которой он находится, в стакан. Установим частоту генератора равной \(30~ кГц\). Измерим зависимость напряжения на резисторе от температуры воздуха в пробирке при его остывании. Рассчитаем величину обратной емкости пьезоэлемента для каждой температуры

\[\dfrac{1}{C} = \dfrac{2 \pi R U_0 f_{30}}{U} . \qquad(6) \tag{4}\]

Ответ:

\(t, ~ ^\circ\mathrm C\)	\(U,~ мВ\)	\(C^{-1}, ~ 10^7~ Ф^{-1}\)
68.6	752	7.28
66.7	736	7.44
62.6	732	7.49
61.6	728	7.35
59.2	712	7.71
57.7	708	7.76
55.8	704	7.80
53.6	696	7.90
51.3	684	8.05
49.1	680	8.10
46.6	672	8.20
43.3	660	8.35
25.6	604	9.17

График зависимости обратной емкости от температуры

Ответ:

Видно, что полученная зависимость достаточно хорошо описывается линейной функцией. Экстраполируем ее график до пересечения с осью температур и найдем тем самым температуру Кюри материала пьезоэлемента

Ответ:

\[T_c =234\,^\circ\mathrm C\]

Источник: pho.rs/p/3255.

Вся олимпиада на сайте

в вариантСтраница задачиОшибка в задаче?

Пьезопластинка

Пьезопластинка

Похожие задачи