Тянучка

Решение

A1. Измерим диаметр недеформированной проволоки при помощи микрометра. Проведем несколько измерений вдоль длины и усредним.

Тогда:

Ответ:

\[d_0 = 354 \pm 10~мкм\]

A2. Измерим сопротивление выданного резистора \(R=100.8~Ом\). Соберем установку, описанную в условии, и подключим проволоку к батарейке, соединенную последовательно с резистором. Для исключения сопротивления контактов при измерении воспользуемся четырехточечной схемой измерения (рис. 1).

Рис. 1. Схема измерения сопротивления проволоки

Подключим подключим последовательно с проволокой резистор и батарейку. Подключим один вольтметр параллельно к участку проволоки длиной 50 см, а второй вольтметр к резистору.

Измерим показания вольтметров \(U_1 = 52~ мВ\), \(U_2= 1451 ~ мВ\). Тогда:

Ответ:

\[r_0=\dfrac{U_1}{U_2}\,R= (3.63 \pm 0.10)~ Ом \qquad(3) \tag{3}\]

A3. Рассчитаем удельное сопротивление недеформированной проволоки.

\[r_0=\rho_0\dfrac{l_0}{S_0}=\rho_0\dfrac{4l_0}{\pi d_0^2} \qquad(4) \tag{4}\]

Ответ:

\[\rho_0=\dfrac{\pi r_0 d_0^2}{4 l_0} = (7.1 \pm 0.3)\cdot10^{-7}~ Ом\cdot м \qquad(5) \tag{5}\]

A4. Закрепим проволоку как описано в условии. Вновь воспользуемся четырехточечной схемой измерения.

Будем растягивать проволоку и измерять длину изучаемого участка, а также записывать показания вольтметров.

Рис. 2. Схема измерения сопротивления проволоки при растяжении

Ответ:

A5. Измерим длину изучаемого участка проволоки после ее разрыва \(l_р = 68 ~ см\). Тогда ее относительная деформация равняется \(\varepsilon_р = {l_р}/{l_0} -1 = 36\%\). Измерим микрометром диаметр деформированной проволоки. Также проведем несколько измерений вдоль длины и усредним.

Тогда:

Ответ:

\[d_р = 297 \pm 10 ~ мкм\]

A6. Запишем выражение для связи малого изменения диаметра проволоки и малого изменения ее длины:\[\frac{\Delta d}{d}=-\gamma \frac{\Delta l}{l}. \qquad(6)\tag{6}\]Также запишем как связаны малые изменения продольного и поперечного размеров проволоки с малым изменением ее объема:

\[\dfrac{\Delta V}{V} = \dfrac{\Delta l}{l} + \dfrac{\Delta S}{S} = \dfrac{\Delta l}{l} + 2\dfrac{\Delta d}{d}. \qquad(7)\tag{7}\]C учетом \((6)\) можно записать:

\[\dfrac{\Delta V}{V} = \dfrac{\Delta l}{l} + 2\dfrac{\Delta d}{d} = \dfrac{\Delta l}{l} + -2\gamma \dfrac{\Delta l}{l}= (1-2\gamma )\dfrac{\Delta l}{l}. \qquad(8)\tag{8}\]Если при деформации плотность материала остается постоянной, то и объем изучаемого тела не меняется. Иными словами \(\Delta V = 0\). Тогда, получаем:

\[1-2\gamma_{theor}=0\implies \qquad(9)\tag{9}\]

Ответ:

\[\gamma_{theor} = 0.5 \qquad(10)\tag{10}\]

A7. Следует понимать, что в знаменателе дробей формулы \((6)\) для относительного изменения размеров стоит текущее значение размера. Требуемые по условию задачи продольные деформации должны составлять не менее 30%. Их нельзя считать малыми, поэтому для получения связи изменения размеров в больших пределах, исходное выражение необходимо проинтегрировать. Тогда получим:

\[\ln \frac{d}{d_0}=-\gamma \ln \frac{l}{l_0}. \qquad(11)\tag{11}\]где индекс \(0\) обозначает параметры недеформированной проволоки.

Для определения величины \(\gamma\) рассчитаем значения \(\ln \dfrac{d_р}{d_0}\) и \(\ln \dfrac{l_р}{l_0}\) и найдем их отношение.

Ответ:

\[\gamma= - \dfrac{\ln\dfrac{d_р}{d_0}}{\ln\dfrac{l_р}{l_0}} = 0.57 \pm 0.11 \qquad(12)\tag{12}\]С учетом погрешности измерений величины \(\gamma\) нельзя сделать однозначный вывод, что проволока изменяет свой объем при пластической деформации.

A8. Запишем выражение для сопротивления участка проволоки: \[r=\rho \frac{4 l}{\pi d^2}. \qquad(13)\tag{13}\] Тогда для отношения сопротивлений в растянутом и нерастянутом состояниях: \[\frac{r}{r_0}=\frac{\rho}{\rho_0}\frac{l}{l_0}\frac{d_0^2}{d^2}. \qquad(14)\tag{14}\] Или в логарифмическом представлении: \[\ln{\left(\frac{r}{r_0}\right)}=\ln{\left(\frac{\rho}{\rho_0}\right)}+\ln{\left(\frac{l}{l_0}\right)}+\ln{\left(\frac{d_0^2}{d^2}\right)}. \qquad(15)\tag{15}\] C учетом связи между поперечным и продольным размерами проволоки: \[\ln{\left(\frac{r}{r_0}\right)}=\ln{\left(\frac{\rho}{\rho_0}\right)}+(1+2\gamma)\ln{\left(\frac{l}{l_0}\right)}. \qquad(16)\tag{16}\] Если предположить, что удельное сопротивление проволоки не зависит от ее длины при деформировании, то график зависимости \(\ln{\left({r}/{r_0}\right)}\) от \(\ln{\left({l}/{l_0}\right)}\) должен описываться линейной функцией с угловым коэффициентом \(k_{theor}=1+2\gamma\). Проверим это, построив соответствующий график.

График зависимости логарифма сопротивления проволоки от логарифма ее длины.

Ответ:

Видно, что полученный график может быть описан линейной функцией с угловым коэффициентом \(k_{exp}=2.35\pm0.05\). Поскольку точность измеряемых в эксперименте величин достаточно высока, то можно описать полученный график более подробно. Угловой коэффициент графика при малых пластических деформациях составляет \(k_{exp1}\approx2\), а при больших меняется вплоть до \(k_{exp2}\approx2.8\).

A9. Если считать, что при деформации плотность, а значит и объем материала проволоки не меняется, то угловой коэффициент построенного графика должен равняться \(k_{theor}=1+2\gamma_{theor}=2\).

Диапазоны значений \(k_{exp}\) и \(k_{theor}\) не пересекаются, поэтому можно сделать вывод, что удельное сопротивление проволоки по мере растяжения меняется в большую сторону. При этом основываясь на коэффициентах \(k_{exp1}\) и \(k_{exp2}\) можно утверждать, что скорость роста удельного сопротивления возрастает с величиной пластической деформации. Такую связь измеренных величин можно объяснить тем, что сопротивление материала в частности определяется концентрацией дефектов в кристаллической решетке. По мере пластического деформирования количество дефектов увеличивается, а вместе с тем увеличивается и удельное сопротивление. Рассчитаем значения удельного сопротивления проволоки в деформированном до \(30 \%\) относительного удлинения состоянии.

\[\rho_{30}=\dfrac{r \pi d_{30}^2}{4l_{30}}= \pi \dfrac{(6,58 \ \text{Ом})\cdot (0.311 \pm 0.009\  \text{мм})^2}{4\cdot (65 \ \text{см})}=(7.7\pm0.20)\cdot10^{-7} \ \text{Ом}\cdot\text{м},\]где \(l_{30} = 65~ см\) – длина исследуемого участка при относительной продольной деформации 30%, а \(d_{30} = d_0\left({l_{30}}/{l_0}\right)^{-\gamma_{theor}} = 311 \pm 9 ~ мкм\) – диаметр исследуемого участка при относительной продольной деформации \(30\%\), рассчитанный из предположения о постоянстве объема.

Оценим процентный рост удельного сопротивления:

Ответ:

\[\dfrac{\rho_{30}-\rho_0}{\rho_0} \approx 8.5 \%. \qquad(17)\tag{17}\]

B1. Исследуем, как изменяются упругие свойства проволоки при ее растяжении. Для этого соберем установку, изображенную на рис. 3. Закрепим проволоку с помощью струбцин на столе в натянутом состоянии. Измерим расстояние между зажатыми концами проволоки \(L=90.0\pm0.2~ см\). К середине проволоки привяжем нитку, на которой сделаем крепление для крючка динамометра. Измерим расстояние \(x\), на которое сместился центр проволоки от начального недеформированного положения. Будем измерять зависимость показаний динамометра \(F\) от смещения центра проволоки \(x\), измеряемого при помощи бумажной линейки, приклеенной к столу.

Рис. 3. Схема измерения упругих свойств проволоки

Точка прикрепления нити к проволоке находится в равновесии под действием трех сил: силы натяжения нити, равной показаниям динамометра, а также двух сил упругости \(F_{упр}\), возникающих в проволоке. Тогда, в силу малости углов наклона к горизонту сил натяжения, условие равенства суммы проекций этих сил на вертикальную ось нулю можно записать как: \[2F_{упр}\frac{2x}{L}=F, \qquad(18)\tag{18}\] Тогда: \[F_{упр}=\frac{FL}{4x}. \qquad(19)\tag{19}\] Запишем длину проволоки в состоянии когда ее узелок смещен на расстояние \(x\), воспользовавшись при этом формулами приближенного исчисления. \[l=2\sqrt{(L/2)^2+x^2}\approx L+\frac{2x^2}{L}. \qquad(20)\tag{20}\] Видно, что увеличение длины проволоки меньше длины \(x\) по порядку величины в \({L}/{x}\) раз, что и дает возможность косвенного измерения величины удлинения, через измеряемую напрямую величину \(x\). Рассчитаем относительное удлинение проволоки. \[\varepsilon=\frac{(L+\frac{2x^2}{L})-L}{L}\approx\frac{2x^2}{L^2}. \qquad(21)\tag{21}\] Построим график зависимости \(F\) от \(\varepsilon\). Так как точность измерения координаты \(x\) низкая (\(\sigma_x=0.5~ мм\)), рассчитаем погрешности точек графика. \[\Delta {F_{упр}}= F_{упр}\left(\dfrac{\Delta x}{x}+\dfrac{\Delta F}{F}\right) ,\qquad \Delta \varepsilon=\dfrac{2x^2}{L^2}\cdot\dfrac{2\Delta x}{x} \qquad(22)\tag{22}\]

B2. Проведем описанные измерения и занесем результаты в таблицу.

Ответ:

B3. Построим требуемый график.

Ответ:

График зависимости механического напряжения от относительного продольного удлинения для предварительно недеформированной пластически проволоки.

B4. На графике можно обнаружить несколько областей. При нагрузке проволока сначала деформируется упруго. Начиная со значения механического напряжения \(\tau\approx250~ МПа\) проволока начинает менять свою длину пластически. Вслед за нагрузкой в опыте проводилась разгрузка. На этом участке, график также как и при упругой нагрузке можно описать линейной функцией. Ее угловой коэффициент определяет модуль Юнга проволоки:

Ответ:

\[E = (180\pm20)~ {ГПа}\]

B5. Проведем аналогичные измерения предварительно растянутой до относительного удлинения в \(30 \%\) проволоки. Для расчетов механического напряжения в проволоке будем использовать значение диаметра проволоки \(d_{30}\), рассчитанное ранее. Начало пластической деформации в этом случае достоверно зафиксировать затруднительно. Это означает, что механическое напряжение, требуемое для начала пластической деформации превышаем предел измерений в данном опыте. То есть можно утверждать, что предел текучести \(\tau'\) для предварительно растянутой пластически проволоки больше, чем для нерастянутой. В этом случае говорят о деформационном упрочнении.

Ответ:

Построим требуемый график.

Ответ:

График зависимости механического напряжения от относительного продольного удлинения для предварительно деформированной до \(30\%\) относительной пластической деформации проволоки.

Рассчитаем угловой коэффициент последнего графика:

Ответ:

\[E' = (160 \pm 20) ~ГПа\]

B6. Ответ:

С учетом точности измерений, невозможно достоверно зафиксировать изменение модуля Юнга при пластическом деформировании.

Источник: pho.rs/p/3262.