Воздух в пакете

Решение

A1. Надуем пластиковый пакет. Для измерения дополнительного давления в пакете необходимо использовать манометр. Из предложенного оборудования можно сконструировать этот прибор несколькими способами.

Первый вариант – жидкостный манометр.

Максимальное давление, создаваемое легкими, отличается от атмосферного на \(\Delta P= P-P_0 \approx 5-10~ кПа\). Это соответствует разности уровней в коленях водяного манометра \(\Delta l = {\Delta P}/{\rho g} \approx  50-100 ~см\). Длины трубки \(l_{трубки} \approx 50 ~см\) не хватит для проведения такого измерения. Поэтому использование жидкостного манометра в данном случае не целесообразно.

Второй вариант – воздушный манометр.

Измерим площадь поперечного сечения силиконовой трубки. Для этого наберем в шприц воду, подсоединим к нему шприц и начнем закачивать в трубку воду. Когда поршень шприца будет стоять точно на одном из делений, сделаем отметку на трубке. Переместим поршень шприца до одного из следующих отметок, закачав воду в трубку объемом \(V=(8.0\pm0.2)~ мл\). Погрешность установки поршня шприца на одно из делений оценим как \(0.1~мл\). Сделаем вторую отметку на трубке и измерим расстояние между отметками \(l=(40.1\pm0.2)~ см\). Тогда площадь сечения трубки можно рассчитать как:

\[s={V}/{l}= (0.200\pm0.007)\ \text{см}^2. \qquad(2) \tag{2}\]

Cоберем манометр. Для этого поместим в трубку небольшую каплю воды, создав таким образом водяной поршень. Подсоединим к трубке шприц, предварительно установив поршень в положение, при котором объем шприца составит \(V_{ш}\) (см. рис. 2). Измерим положение границы водяного поршня относительно носика шприца \(x_0\).

Измерять давление можно двумя способами. Первый вариант создавать давление в трубке манометра напрямую ртом. Измеренное таким образом давление может немного отличаться от давления в пакете.  Так как для дальнейшего расчета объема воздуха в пакете понадобится использовать именно давление в пакете, то воспользуемся вторым методом. Соединим шланг с пакетом и будем медленно открывать клапан.  При этом водяной поршень сместится к носику шприца. Обозначим его смещение \(\Delta x\). Изменением давления в пакете можно пренебречь, так как из пакета вытекло всего несколько миллилитров воздуха, а объем пакета составляет несколько литров. Процесс измерения можно считать изотермическим. Поэтому согласно закону Бойля-Мариотта можно записать уравнение:\[P_0(V_{ш}+sx_0)=(P_0+\Delta P)(V_{ш}+s(x_0-\Delta x)), \qquad(3) \tag{3}\]

где \(P_0\) – атмосферное давление. Тогда дополнительное давление в трубке составит:

\[\Delta P = P_0\frac{s\Delta x}{V_{ш}+sx_0 - s\Delta x}. \qquad(4) \tag{4}\]

Рис. 2. Конструкция манометра.

Для максимально достоверных измерений объем воздуха в шприце \(V_{ш}\) сделаем максимальным, чтобы максимальным и наиболее точно измеряемым было смещение водяного поршня. Так как шкала объемов содержимого шприца покрывает поверхность шприца не полностью, измерим длину шкалы шприца \(y_{20}=(6.80\pm0.05)~см\) соответствующую \(V_{20}=20.0\pm0.1~ мл\) и длину объема воздуха в шприце при максимально выдвинутом поршне \(y=(8.00\pm0.05)~см\). Тогда объем воздуха в шприце составит:

\[V_\text{ш}=V_{20} \,{y}/{y_{20}}=23.5\pm0.3 \ \text{мл}. \qquad(5) \tag{5}\]

Подберем начальное положение водяного поршня так, чтобы он при подаче давления смещался как можно ближе к носику шприца. Это необходимо для того, чтобы исключить фактор изменения внутреннего объема силиконовой трубки при изменении давления в ней.

Тогда с учетом проведенных измерений \(x_0=34.2\pm0.1~ см\) (погрешность определяет неточность положения начала трубки) и \(\Delta x=15.2\pm0.1~см\) для дополнительного давления получаем:

Ответ:

\[\Delta P = P_0\,\frac{s\Delta x}{V_{ш}+sx_0 - s\Delta x} =(11.1\pm0.5) \ \text{кПа}.\]

A2. Сразу после проведённых измерений давления поставим на весы стакан с водой, а него положим пакет с воздухом. Обнулим показания весов. Спустим воздух из пакета  и вновь положим его в стакан. Полученная разность масс \(\Delta m=0.53\pm0.03~г\).

Запишем условие равновесия для пакета на весах с избыточным давлением \(\Delta P\) и для пакета с воздухом атмосферного давления и вычтем одно из другого:\[\Delta m =  (\rho  -\rho_o)   V , \qquad(6) \tag{6}\]где \(\Delta m\) – разность показаний весов, \(\rho\) – плотность воздуха в пакете с избыточным давлением, \(\rho_o\) – плотность воздуха при атмосферном давлении, \(V\) – объем пакета.

Пользуясь уравнением Менделеева-Клапейрона получим для объема воздуха в пакете:

Ответ:

\[V=\frac{\Delta m}{\Delta P } \frac{RT}{\mu}= (4.0\pm0.7) \ \text{л} \qquad(7) \tag{7}\]

Здесь \(\mu\) – молярная масса воздуха, \(T = 295~К\) – температура воздуха в аудитории, \(R\) – универсальная газовая постоянная.

A3. Соберем установку для измерения величины \(k\) (см рис. 3). Для этого надуем пакет, подсоединим к нему силиконовую трубку. Лапкой штатива немного зажмем трубку в средней части, направив, ее кончик на весы. При этом кончик трубы расположим на расстоянии приблизительно равном \(5~мм\) от измерительной платформы весов. Положим пластиковую крышку на пакет. Будем одной рукой одновременно давить на крышку и засекать время на секундомере, а второй рукой будем держать открытым кран. Давление рукой будем стараться осуществлять так, чтобы показания весов были приблизительно равны некоторому значению. Проведем измерение времени вытекания \(t\) всего воздуха из пакета в таких условиях не меньше трех раз. Запишем полученные значения в таблицу и усредним. Пережмем немного силиконовую трубку для удобства регулировки скорости потока струи и вновь проведем измерения.

Рис. 3. Установка для измерения силы давления струи воздуха

Воздух, вытекающий из струи имеет давление близкое к атмосферному, равно как и воздух в пакете. Поэтому связь между объемом пакета и скоростью струи \(v\) можно записать как:

\[V=vst. \qquad(8) \tag{8}\]С другой стороны, показания весов связаны с изменением импульса весов, как:

\[mg=k\rho s v^2. \qquad(9) \tag{9}\]Плотность вытекающего воздуха найдем с помощью закона Менделеева-Клапейрона:

\[\rho=\frac{\mu P_0}{RT}. \qquad(10) \tag{10}\]Тогда окончательно получаем связь между временем вытекания и показаниями весов:

\[m=\frac{k\mu P_0 V^2}{s g RT } \frac{1}{t^2}. \qquad(11) \tag{11}\]Построим график \(t^{-2}(m)\). Его угловой коэффициент составляет:

\[K=\frac{RT s g}{k\mu P_0 V^2} = (0.73\pm0.05) ~ 10^{-2} ~{г^{-1} \cdot с^{-2}}. \qquad(12) \tag{12}\]Откуда искомый коэффициент:

Ответ:

\[k=\frac{RT s g}{K\mu P_0 V^2} = (1.3\pm0.3) \qquad(13) \tag{13}\]

График зависимости обратного квадрата времени вытекания воздуха из пакета от показаний весов

Источник: pho.rs/p/3250.