Рамка на фотопластинке

Изображение рамки строится линзой в плоскости пластинки, а свет проходит через щель только тогда, когда щель совпадает с изображением участка рамки. Моменты, когда горизонтальные стороны изображения засвечиваются, связаны с положением щели; из их разности и положения центра рамки найдите сторону рамки.

Пусть сторона рамки равна \(2a\), сторона пластинки \(2h\). Центр рамки падает по закону \(Y_{\text{Р}}(t) = Y_0 - gt^2/2\), а положение щели \(y_{\text{Щ}}(t) = -h\left(1 - \dfrac{2t}{\tau}\right)\). Изображение точек с вертикальной координатой \(Y(t) = \dfrac{dh}{f}\left(1 - \dfrac{2t}{\tau}\right)\) попадает на пластинку, если \(|Y(t) - Y_{\text{Р}}(t)| \leqslant a\). Горизонтальные линии на пластинке, по которым засвечиваются стороны рамки, возникают в моменты \(t_{1,2}\), которые по геометрии изображения связаны с \(y_1 = -h/5\) и \(y_2 = 2h/5\).

Из соотношения размеров изображения и рамки \(a = \dfrac{d}{f}x_0\), \(x_0 = \dfrac{4}{5}h\) получаем \(\alpha = \dfrac{af}{hd}\). Решение системы уравнений для двух возможных сценариев (нижняя сторона изображения засвечивается первой либо верхняя, при начальном положении рамки выше или ниже критического) даёт \(a = 3/500\) м, \(Y_0 = 31/2000\) м в первом случае и \(a = 11/500\) м, \(Y_0 = -17/2000\) м во втором. Оба варианта совместимы с условиями задачи, поэтому размер рамки \(2a\) равен \(12\) мм или \(44\) мм.