Корабль с ограниченным ускорением

Скорость корабля постоянна по модулю, значит, задача сводится к поиску траектории наименьшей длины при ограничении на радиус кривизны \(R \geqslant d\). Траектории бывают из дуг радиуса \(d\) и прямых касательных.

Нормальное ускорение корабля не превышает \(a\), поэтому радиус кривизны траектории \(R \geqslant v^2/a = d\). Прямая и дуга радиуса \(d\) — два возможных типа участков.

До точки \(B\) оптимальна полуокружность радиуса \(d\) длиной \(\pi d\): \(T_{OB} = \pi d/v = \pi v/a\).

До точки \(C\) корабль движется по дуге радиуса \(d\) на угол \(2\pi/3\) и затем по касательной к окружности из точки \(C\) длиной \(d\sqrt{3}\): \(T_{OC} = \dfrac{2\pi d/3 + d\sqrt{3}}{v} = \left(\dfrac{2\pi}{3} + \sqrt{3}\right)\dfrac{v}{a}\).

До точки \(A\) рассмотрены два предельных варианта: (а) прямая касательная из \(O\) и три четверти окружности, \(T^{(1)} = \left(1 + \dfrac{3\pi}{2}\right)\dfrac{v}{a} \approx 5{,}71\,\dfrac{v}{a}\); (б) сначала дуга минимального радиуса от \(O\) с переходом на окружность, содержащую \(A\), с углом \(\alpha = \arccos(1/4)\), \(T^{(2)} = 3\left[\pi - \arccos\dfrac{1}{4}\right]\dfrac{v}{a} \approx 5{,}47\,\dfrac{v}{a}\). Выбирается меньшее: \(T_{OA} = T^{(2)}\).